원둘레의 숫자
원 위에 점 n개를 놓습니다. 점 0은 맨 위에 있고 숫자는 시계 방향으로 0, 1, 2… n − 1까지 이어집니다. 배수 m을 고릅니다. 곱 그림에서는 각 점 k에서 점 (k × m) mod n으로 직선을 긋습니다. n으로 나눈 나머지가 선이 끝나는 점입니다. 점 10개 원에서 7 × 2 = 14이고, 14를 10으로 나눈 나머지는 4이므로 선은 7에서 4로 이어집니다. 배수에 n을 더해도 선은 바뀌지 않습니다. 점 10개에서 12×는 2×와 같은 그림인데, 12와 2의 나머지가 같기 때문입니다.
곱셈표
수업 시간의 그림은 모든 곱을 잇는 대신 배수를 차례로 따라갑니다. 0에서 시작해 m을 계속 더하고, 그 점들을 잇습니다. 점 10개에서 2× 경로는 0–2–4–6–8–0으로 오각형입니다. 4× 경로는 0–4–8–2–6–0으로 오각별입니다. 3× 경로는 모든 점을 지납니다. 1× 경로는 원둘레를 한 바퀴 돌고, 0× 경로는 0에 머뭅니다. '모든 순환'은 0을 지나지 않는 고리를 그립니다. 점 10개에서 2× 단에는 홀수를 지나는 두 번째 오각형이 있습니다. 이것이 발도르프 수업과 다른 체험형 산수에서 종이, 칠판, 털실로 쓰는 원입니다.
카디오이드
곱 규칙은 그대로 두고 점을 늘리세요. 수백 개가 되면 2× 선들은 첨점이 하나인 곡선, 원 위쪽의 하트인 카디오이드에 몰립니다. 3× 선들은 첨점이 둘인 네프로이드에 몰립니다. 정수 배수 m은 첨점이 m − 1개인 곡선을 감쌉니다. 5× 선은 넷입니다. 모든 선은 곧습니다. 곡선은 선들이 넘지 않는 가장자리일 뿐입니다. 배수를 움직이면 첨점 수가 눈앞에서 바뀝니다. 배수 1×는 아무것도 그리지 않는데, 모든 점이 자기 자신에 떨어지기 때문입니다. 배수 0×는 모든 선을 점 0으로 보냅니다.
종이, 분필, 못
사람들이 손으로 그리는 바로 그 그림입니다. '종이'는 따뜻한 종이 위의 색연필, '분필'은 초록 칠판과 가루 날리는 선, '나무'는 못을 둥글게 박고 못에서 못으로 털실을 건 원형 지오보드입니다. 점 10개나 12개는 곱셈표를 읽기 위한 것이고, 숫자는 원둘레 바로 바깥에 둘 수 있습니다. 점 100개 이상은 곡선을 위한 것입니다. 못은 서로 겹칠 정도가 되면 사라지고, 선이 그림을 이룹니다.
PictorX에서 살펴보기
'곱셈 원'를 열면 카디오이드가 이미 그려져 있습니다. 점 200개, 2배, 종이 위입니다. '2× 단', '4× 별', '3× 단'는 숫자를 표시한 점 10개 그림입니다. '12개 점, ×5'는 시계 문자판 위의 별입니다. '네프로이드'는 3× 곡선입니다. '나무와 실'는 못 60개와 털실을 씁니다. '분필 스윕'는 초록 칠판 위에서 배수를 앞으로 재생합니다. 재생을 누르면 배수가 움직입니다. '이전'과 '다음'은 한 번에 한 단씩 건너뜁니다. 점을 클릭하면 표시창에 곱과 나머지가 나옵니다. PNG로 저장하거나 캔버스를 PictorX 편집기에서 여세요. 울람 나선과 뷔퐁의 바늘도 지켜볼 수 있는 수학입니다.
자주 묻는 질문
곱셈 원이란 무엇인가요?
원둘레에 번호를 붙인 점들과, 하나의 배수로 곱하는 것을 그린 그림입니다. '곱'은 각 점 k를 (k × m) mod n과 잇고, '곱셈표'는 배수를 0, m, 2m, 3m… 차례로 잇습니다.
왜 2배는 하트처럼 보이나요?
점이 수백 개면 2× 곱의 곧은 선들이 첨점이 하나인 곡선, 카디오이드에 기대어 놓입니다. 3배는 첨점이 둘인 네프로이드에 기댑니다. 정수 배수 m은 첨점 m − 1개를 만듭니다.
왜 4× 단은 별이 되나요?
점 10개의 '곱셈표' 모드에서 매번 4를 더하면 0, 4, 8, 2, 6을 지나 0으로 돌아옵니다. 이 다섯 현이 오각별입니다. 같은 원에서 2× 단은 오각형 0–2–4–6–8입니다.
mod n은 무슨 뜻인가요?
점의 개수 n으로 나눈 나머지입니다. 점 10개에서 7 × 2 = 14이고 14 mod 10은 4이므로 선은 점 4에서 끝납니다.
곱셈 원은 어디에 쓰이나요?
발도르프 수업과 다른 체험형 수업에서는 구구단을 이렇게 종이나 칠판에 그리거나 못 박은 판에 실로 만듭니다. 점이 많은 그림은 모듈러 곱셈의 그림입니다.
관련 도구
곱셈 원
원 위의 각 수를 그 배수와 이으세요. 종이에, 분필로, 또는 나무 위에 곱셈표, 카디오이드, 실 그림을 그려 보세요.
울람 나선
브라우저에서 울람 나선을 그리세요. 소수를 표시하고, 각 대각선의 이차식을 읽고, 오일러의 끊기지 않는 소수 40개 행렬을 열어 보세요.
울람 나선
스타니스와프 울람의 1963년 나선이 정수를 정사각 격자에 어떻게 배치하는지, 왜 소수가 이차식 대각선에 모이는지, 나선을 41에서 시작할 때 오일러의 소수 40개가 어디에 놓이는지 알아봅니다.
뷔퐁의 바늘
브라우저에서 줄이 그어진 바닥에 바늘을 떨어뜨리세요. 교차 횟수를 세고 뷔퐁의 1777년 실험이 π를 추정하는 과정을 지켜보세요.
스피로그래프
브라우저에서 하이포트로코이드와 에피트로코이드를 그립니다. R, r, 펜 오프셋을 조절하고 애니메이션·무작위화·PNG 저장.
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곱셈 원 해 보기