Over vermenigvuldigingscirkels | Tafels op een cirkel

Getallen rond een rand

Zet n punten op een cirkel. Punt 0 staat bovenaan en de getallen lopen met de klok mee: 0, 1, 2, tot n − 1. Kies een factor m. In de productentekening loopt een rechte lijn van elk punt k naar het punt (k × m) mod n. De rest na deling door n is het punt waar de lijn eindigt. Op een cirkel van 10 is 7 × 2 = 14, en 14 gedeeld door 10 geeft rest 4, dus loopt de lijn van 7 naar 4. Wie n bij de factor optelt, verandert geen enkele lijn. 12× op 10 punten is dezelfde tekening als 2×, omdat 12 en 2 dezelfde rest geven.

De tafel

De tekening uit de klas loopt de veelvouden op volgorde af in plaats van elk product te verbinden. Begin bij 0, tel steeds m op en verbind die punten. Op 10 punten is de 2×-wandeling 0–2–4–6–8–0, een vijfhoek. De 4×-wandeling is 0–4–8–2–6–0, een vijfpuntige ster. De 3×-wandeling bezoekt elk punt. De 1×-wandeling gaat één keer rond de rand en de 0×-wandeling blijft bij 0. ‘Alle cycli’ tekent de lussen die niet door 0 gaan. Op 10 punten heeft de tafel van 2 een tweede vijfhoek, door de oneven getallen. Dit is de cirkel uit de vrijeschoollessen en ander handelend rekenen, op papier, op het schoolbord of met garen.

De cardioïde

Houd de productenregel aan en voeg punten toe. Bij een paar honderd drommen de 2×-lijnen samen tegen een cardioïde, een kromme met één keerpunt, het hart boven in de cirkel. De 3×-lijnen drommen samen tegen een nefroïde, die twee keerpunten heeft. Een gehele factor m omarmt een kromme met m − 1 keerpunten. De 5×-lijnen hebben er vier. Elke lijn is recht. De kromme is alleen de rand die de lijnen niet oversteken. Schuif de factor en het aantal keerpunten verandert voor je ogen. De factor 1× tekent niets, omdat elk punt op zichzelf valt. De factor 0× stuurt elke lijn naar punt 0.

Papier, krijt en spijkers

Het is de figuur die mensen met de hand tekenen. Papier is een kleurpotlood op een warm vel. Krijt is een groen bord en een stoffige lijn. Hout is een ring van spijkers met garen van spijker naar spijker gespannen, het ronde geobord. Tien of twaalf punten zijn om een tafel af te lezen, en de getallen kunnen net buiten de rand staan. Honderd punten of meer zijn voor de kromme. De spijkers verdwijnen zodra ze op elkaar zouden komen te staan, en de lijnen dragen het beeld.

Ontdek het in PictorX

Open Vermenigvuldigingscirkels en de cardioïde staat er al: 200 punten, keer 2, op papier. ‘Tafel van 2’, ‘4×-ster’ en ‘Tafel van 3’ zijn de tekeningen op tien punten, met de getallen aan. ‘12 punten, ×5’ is de ster op een wijzerplaat. ‘Nefroïde’ is de 3×-kromme. ‘Draad op hout’ gebruikt 60 spijkers en garen. ‘Krijtzwaai’ laat de factor op een groen bord vooruitlopen. Druk op afspelen en de factor loopt. ‘Vorige’ en ‘Volgende’ springen telkens een hele tafel. Klik op een punt en de uitlezing geeft het product en de rest. Sla een PNG op of open het canvas in de PictorX-editor. De Ulam-spiraal en de naald van Buffon zijn nog twee stukjes wiskunde om naar te kijken.

Veelgestelde vragen

Wat is een vermenigvuldigingscirkel?

Genummerde punten rond een cirkel, en een tekening van vermenigvuldigen met één factor. Producten verbindt elk punt k met (k × m) mod n. Tafel verbindt de veelvouden op volgorde: 0, m, 2m, 3m, enzovoort.

Waarom lijkt keer 2 op een hart?

Met een paar honderd punten liggen de rechte lijnen van de 2×-producten tegen een cardioïde, een kromme met één keerpunt. Keer 3 ligt tegen een nefroïde, die twee keerpunten heeft. Een gehele factor m geeft m − 1 keerpunten.

Waarom is de tafel van 4 een ster?

In de modus Tafel op 10 punten bezoekt elke stap van 4 de punten 0, 4, 8, 2, 6 en terug naar 0. Die vijf koorden vormen een pentagram. De tafel van 2 op dezelfde cirkel is de vijfhoek 0–2–4–6–8.

Wat betekent mod n?

De rest na deling door n, het aantal punten. Op 10 punten is 7 × 2 = 14 en 14 mod 10 gelijk aan 4, dus de lijn eindigt bij punt 4.

Waar worden vermenigvuldigingscirkels gebruikt?

Vrijeschoollessen en ander handelend onderwijs tekenen de tafels zo, op papier, op het schoolbord of met draad op een spijkerplank. De figuur met veel punten is een beeld van modulaire vermenigvuldiging.