गुणन वृत्तों के बारे में | वृत्त पर पहाड़े

किनारे के चारों ओर संख्याएँ

वृत्त पर n बिंदु रखें। बिंदु 0 सबसे ऊपर है, और संख्याएँ घड़ी की दिशा में चलती हैं: 0, 1, 2, n − 1 तक। एक गुणक m चुनें। गुणनफल वाले चित्र में हर बिंदु k से बिंदु (k × m) mod n तक एक सीधी रेखा जाती है। n से भाग देने पर बचा शेषफल वह बिंदु है जहाँ रेखा समाप्त होती है। 10 बिंदुओं वाले वृत्त पर 7 × 2 = 14, और 14 को 10 से भाग देने पर शेषफल 4 बचता है, इसलिए रेखा 7 से 4 तक जाती है। गुणक में n जोड़ने से कोई रेखा नहीं बदलती। 10 बिंदुओं पर 12× वही चित्र है जो 2×, क्योंकि 12 और 2 का शेषफल एक ही है।

पहाड़ा

कक्षा वाला चित्र हर गुणनफल को जोड़ने के बजाय गुणजों पर क्रम से चलता है। 0 से शुरू करें, m जोड़ते रहें, फिर उन बिंदुओं को जोड़ें। 10 बिंदुओं पर 2× की यात्रा 0–2–4–6–8–0 है, एक पंचभुज। 4× की यात्रा 0–4–8–2–6–0 है, पाँच नोकों वाला तारा। 3× की यात्रा हर बिंदु से गुज़रती है। 1× की यात्रा किनारे का एक चक्कर लगाती है, और 0× की यात्रा 0 पर रहती है। "सभी चक्र" उन लूपों को बनाता है जो 0 से नहीं गुज़रते। 10 बिंदुओं पर 2× पहाड़े में विषम संख्याओं से होकर दूसरा पंचभुज है। यही वह वृत्त है जो वाल्डॉर्फ पाठों और दूसरे व्यावहारिक अंकगणित में काग़ज़ पर, ब्लैकबोर्ड पर या ऊन से बनाया जाता है।

कार्डिऑइड

गुणनफल का नियम रखें और बिंदु बढ़ाएँ। दो-एक सौ पर 2× रेखाएँ एक कार्डिऑइड से सटती हैं, एक कस्प वाला वक्र, वृत्त के ऊपर का दिल। 3× रेखाएँ नेफ्रॉइड से सटती हैं, जिसके दो कस्प हैं। पूर्णांक गुणक m, m − 1 कस्प वाले वक्र से लिपटता है। 5× रेखाओं के चार हैं। हर रेखा सीधी है। वक्र बस वह किनारा है जिसे रेखाएँ पार नहीं करतीं। गुणक खिसकाएँ और कस्पों की गिनती आँखों के सामने बदलती है। 1× गुणक कुछ नहीं बनाता, क्योंकि हर बिंदु अपने ही ऊपर आता है। 0× गुणक हर रेखा को बिंदु 0 पर भेजता है।

काग़ज़, चॉक और कीलें

यह वही आकृति है जिसे लोग हाथ से बनाते हैं। काग़ज़ गर्म रंग की शीट पर रंगीन पेंसिल है। चॉक हरा बोर्ड और धूल भरी रेखा है। लकड़ी कीलों का घेरा है जिसमें कील से कील तक ऊन खिंची है, गोल जियोबोर्ड। दस या बारह बिंदु पहाड़ा पढ़ने के लिए हैं, और संख्याएँ किनारे के ठीक बाहर रह सकती हैं। सौ या अधिक बिंदु वक्र के लिए हैं। जब कीलें एक-दूसरे पर चढ़ने लगें तो वे ग़ायब हो जाती हैं, और चित्र रेखाएँ बनाती हैं।

PictorX में आज़माएँ

गुणन वृत्त खोलें और कार्डिऑइड पहले से बना मिलता है: 200 बिंदु, 2 से गुणा, काग़ज़ पर। "2× पहाड़ा", "4× तारा" और "3× पहाड़ा" संख्याओं वाले दस बिंदुओं के चित्र हैं। "12 बिंदु, ×5" घड़ी के डायल पर तारा है। "नेफ्रॉइड" 3× वक्र है। "लकड़ी पर धागा" में 60 कीलें और ऊन हैं। "चॉक स्वीप" हरे बोर्ड पर गुणक को आगे चलाता है। प्ले दबाएँ और गुणक चलता है। "पिछला" और "अगला" एक बार में पूरा एक पहाड़ा आगे-पीछे जाते हैं। किसी बिंदु पर क्लिक करें और रीडआउट गुणनफल और शेषफल बताता है। PNG सेव करें, या कैनवास को PictorX एडिटर में खोलें। उलाम सर्पिल और बफ़ॉन की सुई गणित के दो और टुकड़े हैं जिन्हें आप देख सकते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

गुणन वृत्त क्या है?

वृत्त के चारों ओर क्रमांकित बिंदु, और एक गुणक से गुणा का चित्र। गुणनफल हर बिंदु k को (k × m) mod n से जोड़ता है। पहाड़ा गुणजों को क्रम से जोड़ता है: 0, m, 2m, 3m, इत्यादि।

2 से गुणा दिल जैसा क्यों दिखता है?

कुछ सौ बिंदुओं पर 2× गुणनफलों की सीधी रेखाएँ एक कार्डिऑइड से सटती हैं, जो एक कस्प वाला वक्र है। 3 से गुणा दो कस्प वाले नेफ्रॉइड से सटता है। पूर्णांक गुणक m से m − 1 कस्प बनते हैं।

4× पहाड़ा तारा क्यों है?

10 बिंदुओं पर पहाड़ा मोड में हर क़दम पर 4 जोड़ने से 0, 4, 8, 2, 6 और फिर 0 पर वापसी होती है। ये पाँच जीवाएँ एक पंचकोणीय तारा बनाती हैं। उसी वृत्त पर 2× पहाड़ा पंचभुज 0–2–4–6–8 है।

mod n का क्या अर्थ है?

n यानी बिंदुओं की संख्या से भाग देने पर बचा शेषफल। 10 बिंदुओं पर 7 × 2 = 14 और 14 mod 10 = 4, इसलिए रेखा बिंदु 4 पर समाप्त होती है।

गुणन वृत्त कहाँ उपयोग होते हैं?

वाल्डॉर्फ और दूसरे व्यावहारिक पाठों में पहाड़े इसी तरह बनाए जाते हैं, काग़ज़ पर, ब्लैकबोर्ड पर, या कीलों वाले तख़्ते पर धागे से। अनेक बिंदुओं वाली आकृति मॉड्यूलर गुणा का चित्र है।