О кругах умножения | Таблица умножения на круге

Числа по окружности

Расставьте n точек на окружности. Точка 0 наверху, числа идут по часовой стрелке: 0, 1, 2, до n − 1. Выберите множитель m. На рисунке произведений прямая идёт от каждой точки k к точке (k × m) mod n. Остаток от деления на n — это точка, где линия заканчивается. На круге из 10 точек 7 × 2 = 14, а 14 при делении на 10 даёт остаток 4, поэтому линия идёт от 7 к 4. Прибавление n к множителю не меняет ни одной линии. 12× на 10 точках — тот же рисунок, что и 2×, потому что 12 и 2 дают одинаковый остаток.

Таблица умножения

Школьный рисунок обходит кратные по порядку, а не соединяет каждое произведение. Начните с 0, прибавляйте m и соединяйте эти точки. На 10 точках обход 2× — это 0–2–4–6–8–0, пятиугольник. Обход 4× — 0–4–8–2–6–0, пятиконечная звезда. Обход 3× проходит через каждую точку. Обход 1× один раз огибает окружность, а обход 0× остаётся в 0. «Все циклы» рисует петли, не проходящие через 0. На 10 точках у таблицы на 2 есть второй пятиугольник — через нечётные числа. Это круг из вальдорфских уроков и другой практической арифметики — на бумаге, на доске или с пряжей.

Кардиоида

Сохраните правило произведений и добавьте точек. При паре сотен линии 2× теснятся у кардиоиды — кривой с одной точкой возврата, сердца в верхней части круга. Линии 3× теснятся у нефроиды с двумя точками возврата. Целый множитель m облегает кривую с m − 1 точками возврата. У линий 5× их четыре. Каждая линия прямая. Кривая — лишь край, который линии не пересекают. Сдвиньте множитель, и число точек возврата меняется у вас на глазах. Множитель 1× ничего не рисует, потому что каждая точка попадает сама в себя. Множитель 0× отправляет каждую линию в точку 0.

Бумага, мел и гвозди

Это та фигура, которую рисуют от руки. «Бумага» — цветной карандаш на тёплом листе. «Мел» — зелёная доска и пыльная линия. «Дерево» — кольцо гвоздей с пряжей, натянутой от гвоздя к гвоздю, круглая геодоска. Десять или двенадцать точек — чтобы читать таблицу, а числа можно поставить сразу за окружностью. Сто точек и больше — для кривой. Гвозди исчезают, как только начали бы налезать друг на друга, и картину несут линии.

Исследуйте в PictorX

Откройте «Круги умножения», и кардиоида уже нарисована: 200 точек, умножение на 2, на бумаге. «Таблица на 2», «Звезда 4×» и «Таблица на 3» — рисунки на десяти точках с показанными числами. «12 точек, ×5» — звезда на циферблате. «Нефроида» — кривая 3×. «Нить на дереве» использует 60 гвоздей и пряжу. «Меловой проход» прокручивает множитель вперёд на зелёной доске. Нажмите воспроизведение, и множитель пойдёт. «Назад» и «Далее» перескакивают на целую таблицу. Нажмите на точку, и индикатор покажет произведение и остаток. Сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX. Спираль Улама и игла Бюффона — ещё два кусочка математики, за которыми можно наблюдать.

Часто задаваемые вопросы

Что такое круг умножения?

Пронумерованные точки на окружности и рисунок умножения на один множитель. «Произведения» соединяют каждую точку k с (k × m) mod n. «Таблица умножения» соединяет кратные по порядку: 0, m, 2m, 3m и так далее.

Почему умножение на 2 похоже на сердце?

При нескольких сотнях точек прямые линии произведений на 2 прилегают к кардиоиде — кривой с одной точкой возврата. Умножение на 3 прилегает к нефроиде с двумя точками возврата. Целый множитель m даёт m − 1 точек возврата.

Почему таблица на 4 — это звезда?

В режиме «Таблица умножения» на 10 точках прибавление 4 на каждом шаге проходит 0, 4, 8, 2, 6 и возвращается в 0. Эти пять хорд образуют пентаграмму. Таблица на 2 на том же круге — пятиугольник 0–2–4–6–8.

Что означает mod n?

Остаток от деления на n — число точек. На 10 точках 7 × 2 = 14, а 14 mod 10 равно 4, поэтому линия заканчивается в точке 4.

Где используют круги умножения?

На вальдорфских и других практических уроках таблицу умножения рисуют именно так — на бумаге, на доске или нитью на доске с гвоздями. Фигура с множеством точек — это картина модульного умножения.