Sobre os círculos de multiplicação | A tabuada num círculo

Números à volta de uma borda

Coloque n pontos num círculo. O ponto 0 fica no topo e os números seguem no sentido dos ponteiros do relógio: 0, 1, 2, até n − 1. Escolha um fator m. No desenho dos produtos, uma linha reta vai de cada ponto k ao ponto (k × m) mod n. O resto da divisão por n é o ponto onde a linha termina. Num círculo de 10, 7 × 2 = 14, e 14 a dividir por 10 deixa resto 4, por isso a linha vai de 7 a 4. Somar n ao fator não muda nenhuma linha. 12× em 10 pontos é o mesmo desenho que 2×, porque 12 e 2 deixam o mesmo resto.

A tabuada

O desenho da sala de aula percorre os múltiplos por ordem em vez de ligar cada produto. Comece em 0, continue a somar m e ligue esses pontos. Em 10 pontos, o percurso de 2× é 0–2–4–6–8–0, um pentágono. O de 4× é 0–4–8–2–6–0, uma estrela de cinco pontas. O de 3× passa por todos os pontos. O de 1× dá uma volta à borda e o de 0× fica em 0. «Todos os ciclos» desenha os laços que não passam por 0. Em 10 pontos, a tabuada do 2 tem um segundo pentágono, pelos ímpares. É o círculo usado nas aulas Waldorf e noutra aritmética prática, em papel, no quadro ou com lã.

A cardioide

Mantenha a regra dos produtos e acrescente pontos. Com umas duas centenas, as linhas 2× apertam-se contra uma cardioide, uma curva com uma cúspide, o coração no topo do círculo. As linhas 3× apertam-se contra uma nefroide, que tem duas cúspides. Um fator inteiro m abraça uma curva com m − 1 cúspides. As linhas 5× têm quatro. Cada linha é reta. A curva é apenas a borda que as linhas não atravessam. Deslize o fator e o número de cúspides muda à vista. O fator 1× não desenha nada, porque cada ponto cai sobre si próprio. O fator 0× envia cada linha para o ponto 0.

Papel, giz e pregos

É a figura que as pessoas desenham à mão. Papel é um lápis de cor numa folha quente. Giz é um quadro verde e uma linha poeirenta. Madeira é um anel de pregos com lã esticada de prego em prego, o geoplano circular. Dez ou doze pontos servem para ler uma tabuada, e os números podem ficar logo fora da borda. Cem pontos ou mais são para a curva. Os pregos desaparecem quando ficariam uns por cima dos outros, e são as linhas que fazem a imagem.

Explore-o no PictorX

Abra Círculos de multiplicação e a cardioide já está desenhada: 200 pontos, vezes 2, em papel. «Tabuada do 2», «Estrela 4×» e «Tabuada do 3» são os desenhos de dez pontos, com os números visíveis. «12 pontos, ×5» é a estrela num mostrador de relógio. «Nefroide» é a curva 3×. «Fio sobre madeira» usa 60 pregos e lã. «Varrimento a giz» faz avançar o fator num quadro verde. Carregue em reproduzir e o fator avança. «Anterior» e «Seguinte» saltam uma tabuada inteira de cada vez. Clique num ponto e o mostrador dá o produto e o resto. Guarde um PNG ou abra a tela no editor do PictorX. A espiral de Ulam e a agulha de Buffon são mais duas peças de matemática para ver.

Perguntas frequentes

O que é um círculo de multiplicação?

Pontos numerados à volta de um círculo e um desenho da multiplicação por um fator. Produtos liga cada ponto k a (k × m) mod n. Tabuada liga os múltiplos por ordem: 0, m, 2m, 3m e assim por diante.

Porque é que vezes 2 parece um coração?

Com algumas centenas de pontos, as linhas retas dos produtos por 2 encostam-se a uma cardioide, uma curva com uma cúspide. Vezes 3 encosta-se a uma nefroide, que tem duas cúspides. Um fator inteiro m dá m − 1 cúspides.

Porque é que a tabuada do 4 é uma estrela?

No modo Tabuada em 10 pontos, somar 4 a cada passo visita 0, 4, 8, 2, 6 e volta a 0. Essas cinco cordas formam um pentagrama. A tabuada do 2 no mesmo círculo é o pentágono 0–2–4–6–8.

O que significa mod n?

O resto da divisão por n, o número de pontos. Em 10 pontos, 7 × 2 = 14 e 14 mod 10 é 4, por isso a linha termina no ponto 4.

Onde se usam os círculos de multiplicação?

As aulas Waldorf e outras aulas práticas desenham assim a tabuada, em papel, no quadro ou com fio numa tábua de pregos. A figura com muitos pontos é uma imagem da multiplicação modular.