Om multiplikationscirklar | Multiplikationstabeller på en cirkel

Tal runt en kant

Placera n punkter på en cirkel. Punkt 0 sitter överst, och talen går medurs: 0, 1, 2, upp till n − 1. Välj en faktor m. I produktteckningen går en rak linje från varje punkt k till punkten (k × m) mod n. Resten vid division med n är punkten där linjen slutar. På en cirkel med 10 är 7 × 2 = 14, och 14 delat med 10 ger resten 4, så linjen går från 7 till 4. Att lägga n till faktorn ändrar ingen linje. 12× på 10 punkter är samma teckning som 2×, eftersom 12 och 2 ger samma rest.

Multiplikationstabellen

Klassrummets teckning går igenom multiplerna i ordning i stället för att förbinda varje produkt. Börja på 0, fortsätt lägga till m och förbind de punkterna. På 10 punkter är 2×-vandringen 0–2–4–6–8–0, en femhörning. 4×-vandringen är 0–4–8–2–6–0, en femuddig stjärna. 3×-vandringen besöker varje punkt. 1×-vandringen går ett varv runt kanten, och 0×-vandringen stannar på 0. ”Alla cykler” ritar de slingor som inte går genom 0. På 10 punkter har 2:ans tabell en andra femhörning genom de udda talen. Det är cirkeln från Waldorflektioner och annan praktisk räkning, på papper, på svarta tavlan eller med garn.

Kardioiden

Behåll produktregeln och lägg till punkter. Vid ett par hundra trängs 2×-linjerna mot en kardioid, en kurva med en spets, hjärtat överst i cirkeln. 3×-linjerna trängs mot en nefroid, som har två spetsar. En heltalsfaktor m smiter åt en kurva med m − 1 spetsar. 5×-linjerna har fyra. Varje linje är rak. Kurvan är bara kanten som linjerna inte korsar. Dra i faktorn så ändras antalet spetsar inför dina ögon. Faktorn 1× ritar ingenting, eftersom varje punkt hamnar på sig själv. Faktorn 0× skickar varje linje till punkt 0.

Papper, krita och spikar

Det är figuren man ritar för hand. Papper är en färgpenna på ett varmt ark. Krita är en grön tavla och ett dammigt streck. Trä är en ring av spikar med garn draget från spik till spik, den runda geobrädan. Tio eller tolv punkter är till för att läsa av en tabell, och talen kan stå strax utanför kanten. Hundra punkter eller fler är för kurvan. Spikarna försvinner när de skulle hamna ovanpå varandra, och linjerna bär bilden.

Utforska det i PictorX

Öppna Multiplikationscirklar så är kardioiden redan ritad: 200 punkter, gånger 2, på papper. ”2:ans tabell”, ”4×-stjärna” och ”3:ans tabell” är teckningarna med tio punkter, med talen visade. ”12 punkter, ×5” är stjärnan på en urtavla. ”Nefroid” är 3×-kurvan. ”Snöre på trä” använder 60 spikar och garn. ”Kritsvep” spelar faktorn framåt på en grön tavla. Tryck på spela så vandrar faktorn. ”Föregående” och ”Nästa” hoppar en hel tabell i taget. Klicka på en punkt så visar avläsningen produkten och resten. Spara en PNG eller öppna duken i PictorX-redigeraren. Ulams spiral och Buffons nål är två andra bitar matematik att titta på.

Ofta ställda frågor

Vad är en multiplikationscirkel?

Numrerade punkter runt en cirkel och en teckning av multiplikation med en faktor. Produkter förbinder varje punkt k med (k × m) mod n. Multiplikationstabell förbinder multiplerna i ordning: 0, m, 2m, 3m och så vidare.

Varför ser gånger 2 ut som ett hjärta?

Med några hundra punkter ligger de raka linjerna från 2×-produkterna mot en kardioid, en kurva med en spets. Gånger 3 ligger mot en nefroid, som har två spetsar. En heltalsfaktor m ger m − 1 spetsar.

Varför är 4:ans tabell en stjärna?

I läget Multiplikationstabell på 10 punkter besöker man genom att lägga till 4 i varje steg 0, 4, 8, 2, 6 och tillbaka till 0. De fem kordorna är ett pentagram. 2:ans tabell på samma cirkel är femhörningen 0–2–4–6–8.

Vad betyder mod n?

Resten vid division med n, antalet punkter. På 10 punkter är 7 × 2 = 14 och 14 mod 10 är 4, så linjen slutar i punkt 4.

Var används multiplikationscirklar?

Waldorflektioner och annan praktisk undervisning ritar multiplikationstabellerna så, på papper, på svarta tavlan eller med snöre på en spikbräda. Figuren med många punkter är en bild av modulär multiplikation.