모드

너비2.00 m

높이1.00 m

중력9.81

속도0.50

시간 눈금 소리 정보

최단강하곡선에 대해 더 알아보기

최단강하곡선 경주

어느 트랙이 구슬을 A에서 B로 가장 빨리 보낼까요? 직선 트랙은 아닙니다. 모든 구슬은 정지 상태에서 출발해 마찰 없이 미끄러지고, 굴러가는 바퀴 위의 한 점이 그리는 곡선인 사이클로이드가 매번 이깁니다. 그 이름은 브라키스토크론(최단강하곡선), 곧 ‘가장 짧은 시간’이라는 뜻입니다. B를 끌어 결승점을 옮기거나, 그림 위에 나만의 트랙을 그리세요. 모든 구슬은 A에서 정지 상태로 출발해 마찰 없이 미끄러집니다. 사이클로이드는 결승점보다 아래로 내려가는 곳이 있어도 가장 빨리 내려가는 길입니다.

작동 원리

이 페이지를 열면 경주가 시작됩니다. 구슬 다섯 개가 A에서 함께 출발합니다. 시간 눈금은 각 구슬이 10분의 1초마다 어디에 있었는지 보여 줍니다.
B를 끌어 결승점을 옮기거나, 그림 위에 나만의 트랙을 그리세요. 사이클로이드를 이겨 보세요.
모드를 사이클로이드 그릇으로 맞추세요. 서로 다른 높이에서 놓은 구슬이 함께 바닥에 닿습니다. 그런 다음 PNG를 저장하세요.

처음엔 가파르게, 그다음엔 빠르게

처음에 가파르게 떨어지는 구슬은 일찍 속력을 얻고, 남은 길 내내 그 속력을 유지합니다. 직선 경사로의 구슬은 가장 짧은 길로 가지만, 속력이 천천히 붙습니다. 가장 좋은 트랙은 둘 사이의 균형을 잡습니다. 처음엔 가파르고, 나중엔 완만합니다. 그 균형이 바로 사이클로이드입니다.

굴러가는 바퀴의 곡선

바퀴를 직선을 따라 굴리면서 테두리의 한 점을 따라가 보세요. 그 점은 사이클로이드를 그립니다. 이것을 뒤집어 A에서 B로 이으면 최단강하곡선이 됩니다. B가 옆으로 멀고 그다지 낮지 않을 때는, 사이클로이드가 B보다 아래로 내려갔다가 다시 올라오기까지 하는데, 그래도 이깁니다.

어느 높이에서든 같은 시간

사이클로이드 모양의 그릇에서는 어느 높이에서 놓은 구슬이든 같은 시간에 바닥에 닿습니다. 그 시간은 π√(a/g)이며, a는 굴러가는 바퀴의 반지름입니다. 이것이 등시곡선입니다. 둥근 그릇에서는 더 높은 곳에서 놓은 구슬이 더 늦게 도착합니다.

자주 묻는 질문

왜 직선이 가장 빠르지 않나요?

직선은 가장 짧은 길이지만, 가장 빠른 길은 아닙니다. 완만한 경사에서 구슬은 속력이 천천히 붙습니다. 처음에 가파르게 떨어지는 트랙은 구슬을 일찍 빠르게 만들고, 그 속력이 더 긴 길에서 효과를 냅니다.

최단강하곡선 문제는 누가 풀었나요?

요한 베르누이가 1696년에 이 문제를 냈습니다. 풀이는 요한 자신, 그의 형 야코프, 라이프니츠, 뉴턴 등에게서 나왔습니다. 뉴턴의 풀이는 이름 없이 발표되었는데, 베르누이는 발톱을 보고 사자를 알아보듯 그 풀이를 보고 뉴턴을 알아보았다고 합니다.

질량과 중력이 승자를 바꾸나요?

아니요. 구슬의 질량은 상관이 없고, 중력이 더 세지면 모든 구슬이 같은 배율로 빨라집니다. 경주의 순서는 그대로이며, 달에서도 마찬가지입니다.

내 트랙이 이길 수 있나요?

사이클로이드에 아주 가까워져야만 가능합니다. A보다 높이 올라가는 트랙은 구슬을 결코 B까지 보내지 못합니다. 마찰이 없으면 구슬은 출발한 곳보다 높이 올라갈 수 없기 때문입니다.

무언가 업로드되나요?

아니요. 경주는 브라우저의 캔버스에 그려집니다. 저장은 PNG를 받습니다. 편집은 그 이미지를 PictorX 편집기에서 엽니다.

시도해 볼 준비가 되셨나요?

브라우저에서 PictorX를 엽니다. 설치가 필요 없고 시작하는 데 신용 카드가 필요하지 않습니다.

편집자로 이동