뷔퐁의 바늘
뷔퐁의 바늘은 기하 확률에서 가장 오래된 문제 가운데 하나입니다. 평행선이 그어진 바닥에 바늘을 떨어뜨립니다. 바늘이 선과 교차할 확률은 간단한 공식이며, 그 안에 π가 들어 있습니다.
평행선이 그어진 바닥
1777년 뷔퐁 백작 조르주루이 르클레르는 마치 응접실 마술처럼 들리는 질문을 던졌습니다. 길이 l인 바늘이 간격 d로 평행선이 그어진 바닥에 떨어집니다. 바늘이 선에 걸쳐 놓일 확률 P는 얼마일까요? 낙하에서 무작위인 것은 두 가지뿐입니다. 바늘의 중심은 선과 선 사이 어디에나 같은 확률로 떨어지고, 바늘은 어느 방향이든 같은 확률로 가리킵니다. 그림을 선을 따라 밀어도 교차 여부는 바뀌지 않으므로 선을 따른 위치는 무시할 수 있습니다.
짧은 바늘
고전적인 답은 짧은 바늘, 즉 간격보다 길지 않은 바늘(l ≤ d)에 대한 것입니다. 이런 바늘은 많아야 선 하나에만 닿을 수 있고, 닿을 확률은 P = 2l / (πd) 입니다. 편리한 설정은 바늘을 간격의 절반, l = d/2로 두는 것입니다. 그러면 P = 1/π, 약 0.318입니다. 세 번 중 한 번보다 조금 적게 교차합니다.
π는 어디에서 오는가
바늘 중심에서 가장 가까운 선까지의 거리를 x라고 합시다. 그러면 x는 0부터 d/2까지입니다. 바늘과 선 사이의 각도를 θ라고 합시다. 바늘에는 머리도 꼬리도 없으므로 θ는 0부터 π까지이고, 그 반 바퀴에 이미 모든 방향이 들어 있습니다. x가 바늘 절반의 사영보다 크지 않으면 바늘이 선에 닿습니다. x ≤ (l/2) sin θ 모든 쌍 (θ, x)는 너비 π, 높이 d/2인 직사각형 안의 한 점입니다. 교차는 사인 곡선 아래의 영역입니다. 짧은 바늘이라면 이 곡선은 직사각형 안에 머뭅니다. 그 넓이는 (l/2) sin θ dθ를 0부터 π까지 적분한 값으로, l입니다. 직사각형의 넓이 π·d/2로 나누면 확률은 2l/(πd)입니다. 공식의 π는 각도 축의 너비입니다.
π 추정하기
공식을 뒤집으면 같은 던지기로 π를 추정할 수 있습니다. π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N은 던진 횟수이고 N_hit는 선과 교차한 횟수입니다. l = d/2이면 이는 간단히 π ≈ N / N_hit 입니다. 이것은 몬테카를로 추정입니다. 무작위로 위치와 각도를 뽑고, 교차를 세고, 나눕니다. 바닥에는 바늘이 보입니다. 옆의 직사각형은 같은 던지기를 점으로 보여 주며, 교차하면 사인 곡선 아래에, 교차하지 않으면 위에 찍힙니다.
인내가 필요한 실험
이 추정은 불편 추정이지만 느립니다. 한 번 던질 때마다 확률이 1/π에 가까운 '예' 또는 '아니요'이므로 비율이 오랫동안 흔들립니다. 수천 번 던지면 보통 처음 몇 자리가 π임을 알아볼 수 있습니다. 다음 자리는 훨씬 많은 횟수를 요구합니다. 표시값 옆의 ±는 그 비율의 표준 오차 하나로, 이 길이의 실행이 참값에서 보통 아직 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다. 뷔퐁의 바늘은 줄 그은 바닥과 원을 곧바로 이어 줍니다. 하지만 π의 자릿수를 계산하는 기계로는 형편없습니다.
PictorX에서 살펴보기
뷔퐁의 바늘을 열면 절반 바늘 실험이 이미 진행 중입니다. l/d = 0.50이므로 표시값은 던진 횟수 ÷ 교차 횟수입니다. '바닥과 도표'는 바닥 널과 사인 직사각형을 함께 보여 줍니다. 바닥을 드래그하면 바늘 하나를 손으로 놓고 그 x와 각도를 읽을 수 있습니다. 그 바늘은 그려지지만 횟수에서 빠지므로 추정은 무작위 표본으로 유지됩니다. '간격 전체'는 l = d로 설정하며, 이때 π ≈ 2N / N_hit입니다. '짧은 바늘'은 l = d/4로 설정합니다. '1,000회 던지기'는 한 묶음을 떨어뜨린 뒤 멈춰서 추정값을 읽을 수 있게 합니다. 즐겨찾기 '사인 도표'는 바닥을 숨기고 직사각형을 채웁니다. PNG로 저장하거나 캔버스를 PictorX 편집기에서 여세요. 울람 나선이나 콜라츠 추측과 함께 보면 눈으로 볼 수 있는 수학을 더 즐길 수 있습니다.
자주 묻는 질문
뷔퐁의 바늘 문제는 누가 냈나요?
뷔퐁 백작 조르주루이 르클레르가 1777년에 냈습니다. 기하 확률의 초기 문제 가운데 하나입니다.
바늘은 언제 선과 교차하나요?
중심에서 가장 가까운 선까지의 거리 x가 (l/2) sin θ 이하일 때입니다. 여기서 θ는 바늘과 선 사이의 각도로, 0부터 π까지입니다.
왜 답에 π가 들어 있나요?
바늘의 방향은 각도입니다. 가능한 모든 낙하는 너비 π, 높이 d/2인 직사각형을 채우고, 교차는 사인 곡선 아래의 넓이입니다. 이 두 넓이를 나누면 분모에 π가 남습니다. 짧은 바늘이라면 P = 2l/(πd)입니다.
안정적인 추정에는 몇 번을 던져야 하나요?
바늘이 간격의 절반이면 π는 대략 던진 횟수 ÷ 교차 횟수입니다. 수천 번 던지면 보통 처음 몇 자리가 자리를 잡습니다. 한 자리를 더 얻으려면 훨씬 많은 횟수가 필요합니다. 표시값의 ±는 추정값의 표준 오차 하나입니다.
바늘이 간격보다 길면 어떻게 되나요?
더 긴 바늘은 둘 이상의 선과 교차할 수 있어 P = 2l/(πd)가 더는 성립하지 않습니다. 이 앱은 l ≤ d를 유지하므로 추정식은 π ≈ 2l·N / (d·N_hit) 그대로입니다.
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