Barisan Fibonacci
Barisan Fibonacci adalah daftar bilangan yang setiap sukunya merupakan jumlah dua suku sebelumnya. Aturan yang sama memaksa rasio suku berurutan menuju rasio emas, dan itulah sebab rumus Binet berlaku.
Dua bilangan dan sebuah jumlah
Barisan biasanya dimulai dari F₀ = 0 dan F₁ = 1. Untuk setiap n paling sedikit 2, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Tidak ada yang lain: tanpa faktor tambahan dan tanpa uji genap atau ganjil. Dari dua biji itu daftar sepenuhnya ditentukan: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Beberapa suku pertama
F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Setiap langkah hanya melihat satu dan dua tempat ke belakang. Barisan Lucas memakai penjumlahan yang sama dengan biji berbeda, 2 dan 1, dan menghasilkan 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … Aplikasi dapat menggambar keduanya. Persegi spiral memakai sisi Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, … sehingga setiap persegi baru cocok dengan sisi panjang persegi panjang yang sudah digambar.
Mengapa rasio mendekati satu bilangan
Tulis rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. Hasil bagi pertama adalah 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. Mereka berayun di atas dan di bawah nilai dekat 1,618, dan ayunannya mengecil. Misalkan hasil bagi menetap pada batas r. Maka untuk n besar, Fₙ / Fₙ₋₁ dan Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ keduanya sekitar r. Bagi rekursi dengan Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. Pada limit itu r = 1 + 1/r. Kali dengan r dan persamaan menjadi r² = r + 1, atau r² − r − 1 = 0. Rumus kuadrat memberi r = (1 ± √5) / 2. Akar positif adalah rasio emas φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
Persamaan tersembunyi dalam aturan
Cari solusi berbentuk Fₙ = λⁿ. Rekursi menjadi λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Bagi dengan λⁿ⁻² dan Anda mendapat λ² = λ + 1, persamaan yang sama seperti sebelumnya. Akarnya φ = (1 + √5) / 2 dan ψ = (1 − √5) / 2. ψ sekitar −0,618, jadi |ψ| < 1 dan pangkatnya menyusut ke 0. Setiap barisan yang mematuhi aturan Fibonacci adalah campuran dua pangkat ini. Rasio emas bukan fakta ekstra yang ditempel belakangan. Persamaan φ² = φ + 1 adalah rekursi yang ditulis untuk barisan geometri murni.
Rumus Binet
Campuran yang mulai di 0 dan 1 adalah rumus Binet, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Karena |ψ| < 1, pangkat kedua segera menjadi sangat kecil, dan Fₙ hampir φⁿ / √5. Bagian yang hilang lebih kecil dari 1/2 untuk setiap n, jadi membulatkan φⁿ / √5 ke bilangan bulat terdekat memberi bilangan Fibonacci yang tepat. Aplikasi menampilkan suku tepat, pangkat φ, dan galat yang menyusut berdampingan.
Aturan linear, berbeda dari Collatz
Bilangan Fibonacci mengikuti rekursi linear: suku berikutnya adalah kombinasi tetap dari yang sebelumnya, dan genap atau ganjil tidak penting. Barisan Collatz memakai aturan paritas nonlinear, n/2 atau 3n+1, dan belum ada yang membuktikan setiap awal mencapai 1. Aturan Fibonacci terselesaikan sepenuhnya. Bentuk tertutup, pertumbuhannya, dan batas rasio emas semuanya berasal dari satu persamaan kuadrat. Ubah dua biji, seperti barisan Lucas, dan batasnya tetap φ, karena batas itu hidup dalam aturan.
Sudut emas
Satu putaran penuh dibagi φ² sekitar 137,5078°. Letakkan biji pada sudut tetap itu, biarkan jari-jari tumbuh seperti akar kuadrat indeks, dan titik-titik terkemas menjadi spiral. Spiral yang dapat dihitung adalah bilangan Fibonacci berurutan. Itulah tampilan bunga matahari di aplikasi.
Jelajahi di PictorX
Buka barisan Fibonacci untuk menumbuhkan persegi menjadi spiral, plot rasio terhadap φ, periksa rumus Binet, atau tebar biji pada sudut emas. Beralih ke bilangan Lucas dan rasio tetap mendekati φ. Seret untuk menggeser, gulir untuk memperbesar, lalu simpan PNG atau buka kanvas di editor PictorX. Pasangkan dengan Konjektur Collatz atau Lingkaran Perkalian untuk lebih banyak gambar dari aturan singkat.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa itu barisan Fibonacci?
Barisan yang ditetapkan oleh F₀ = 0, F₁ = 1, dan Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Dimulai 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Mengapa rasio mendekati rasio emas?
Jika hasil bagi suku berurutan menetap pada batas r, rekursi memaksa r = 1 + 1/r, jadi r² − r − 1 = 0. Solusi positif adalah φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
Apa itu rumus Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, dengan ψ = (1 − √5) / 2. Pangkat ψ menyusut, jadi Fₙ adalah bilangan bulat terdekat ke φⁿ / √5.
Apakah bilangan Lucas melakukan hal yang sama?
Ya. Bilangan Lucas mulai dari 2 dan 1, lalu memakai jumlah yang sama. Rasio berurutannya juga mendekati φ, karena batas datang dari rekursi, bukan dari dua biji.
Apakah gambar meninggalkan perangkat saya?
Tidak. Barisan, spiral, grafik, dan biji dihitung di peramban Anda. Simpan PNG atau buka kanvas di editor PictorX.
Related alat
Barisan Fibonacci
Setiap bilangan Fibonacci adalah jumlah dua suku sebelumnya. Lihat persegi tumbuh menjadi spiral, rasio mendekati rasio emas, dan rumus Binet membangun kembali bilangan yang sama.
Konjektur Collatz
Jelajahi masalah Collatz 3n+1 di browser Anda. Telusuri barisan hujan es, tumbuhkan pohon Collatz geometris, dan perbesar fraktal Collatz kontinu.
Konjektur Collatz
Konjektur Collatz adalah salah satu teka-teki matematika paling terkenal yang belum terpecahkan: aturan genap/ganjil yang sederhana, bilangan hujan es, Erdős, Terence Tao, dan dua cara melihat datanya sebagai geometri dan fraktal.
Lingkaran perkalian
Hubungkan setiap angka pada lingkaran dengan kelipatannya. Gambar tabel perkalian, kardioid, atau figur benang di atas kertas, dengan kapur, atau pada kayu.
Spiral Ulam
Gambar spiral Ulam di peramban Anda. Tandai bilangan prima, baca polinomial kuadrat pada setiap diagonal, dan buka deret 40 bilangan prima Euler yang tak terputus.
Spiral Ulam
Bagaimana spiral Stanisław Ulam tahun 1963 menata bilangan bulat pada kisi persegi, mengapa bilangan prima berkumpul pada diagonal kuadrat, dan di mana empat puluh bilangan prima Euler berada saat spiral dimulai dari 41.
Siap ke coba itu?
Buka PictorX di browser Anda — tidak instalasi, tidak credit kartu diperlukan ke mulai.
Coba barisan Fibonacci