La successione di Fibonacci
La successione di Fibonacci è l'elenco dei numeri in cui ogni termine è la somma dei due precedenti. La stessa regola costringe il rapporto di termini consecutivi verso la sezione aurea, ed è il motivo per cui funziona la formula di Binet.
Due numeri e una somma
La successione di solito inizia con F₀ = 0 e F₁ = 1. Per ogni n almeno 2, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Non serve altro: nessun fattore in più e nessun test su pari o dispari. Da quei due semi l'elenco è completamente determinato: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
I primi termini
F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Ogni passo guarda solo una e due posizioni indietro. La successione di Lucas usa la stessa somma con semi diversi, 2 e 1, e dà 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … L'app può tracciare entrambe. I quadrati della spirale usano i lati di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, … così ogni nuovo quadrato combacia con il lato lungo del rettangolo già disegnato.
Perché i rapporti convergono a un numero
Scrivi rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. I primi quozienti sono 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. Oscillano sopra e sotto un valore vicino a 1,618, e l'ampiezza diminuisce. Supponi che i quozienti si assestino su un limite r. Allora per n grandi Fₙ / Fₙ₋₁ e Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ valgono entrambi circa r. Dividi la ricorrenza per Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. Al limite è r = 1 + 1/r. Moltiplicando per r si ottiene r² = r + 1, ossia r² − r − 1 = 0. La formula quadratica dà r = (1 ± √5) / 2. La radice positiva è la sezione aurea φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
L'equazione nascosta nella regola
Cerca soluzioni della forma Fₙ = λⁿ. La ricorrenza diventa λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Dividi per λⁿ⁻² e ottieni λ² = λ + 1, la stessa equazione di prima. Le radici sono φ = (1 + √5) / 2 e ψ = (1 − √5) / 2. ψ vale circa −0,618, quindi |ψ| < 1 e le sue potenze si restringono verso 0. Ogni successione che obbedisce alla regola di Fibonacci è una miscela di queste due potenze. La sezione aurea non è un fatto incollato dopo. L'equazione φ² = φ + 1 è la ricorrenza scritta per una successione geometrica pura.
La formula di Binet
La miscela che parte da 0 e 1 è la formula di Binet, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Poiché |ψ| < 1, la seconda potenza diventa presto minuscola e Fₙ è quasi φⁿ / √5. Il pezzo mancante è minore di 1/2 per ogni n, quindi arrotondando φⁿ / √5 all'intero più vicino si ottiene il numero di Fibonacci esatto. L'app elenca il termine esatto, la potenza di φ e l'errore che si restringe l'uno accanto all'altro.
Una regola lineare, a differenza di Collatz
I numeri di Fibonacci seguono una ricorrenza lineare: il termine successivo è una combinazione fissa dei precedenti, e pari o dispari non conta. La successione di Collatz usa una regola di parità non lineare, n/2 o 3n+1, e nessuno ha dimostrato che ogni partenza raggiunga 1. La regola di Fibonacci è risolta del tutto. Forma chiusa, crescita e limite della sezione aurea nascono da un'unica equazione quadratica. Cambia i due semi, come fa la successione di Lucas, e il limite resta φ, perché il limite vive nella regola.
L'angolo aureo
Un giro completo diviso per φ² è circa 137,5078°. Metti semi a quell'angolo fisso e lascia crescere il raggio come la radice quadrata dell'indice: i punti si impacchettano in spirali. Le spirali che puoi contare sono numeri di Fibonacci consecutivi. È la vista girasole dell'app.
Esploralo in PictorX
Apri la successione di Fibonacci per far crescere i quadrati in una spirale, tracciare i rapporti contro φ, controllare la formula di Binet o spargere semi all'angolo aureo. Passa ai numeri di Lucas e i rapporti si avvicinano ancora a φ. Trascina per muovere, scorri per lo zoom, poi salva un PNG o apri il canvas nell'editor PictorX. Abbinala alla congettura di Collatz o ai cerchi di moltiplicazione per altre immagini da una regola breve.
Domande frequenti
Che cos'è la successione di Fibonacci?
La successione definita da F₀ = 0, F₁ = 1 e Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Inizia 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Perché il rapporto si avvicina alla sezione aurea?
Se i quozienti di termini consecutivi si assestano su un limite r, la ricorrenza impone r = 1 + 1/r, quindi r² − r − 1 = 0. La soluzione positiva è φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
Che cos'è la formula di Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, con ψ = (1 − √5) / 2. La potenza di ψ si restringe, quindi Fₙ è l'intero più vicino a φⁿ / √5.
I numeri di Lucas fanno la stessa cosa?
Sì. I numeri di Lucas partono da 2 e 1 e poi usano la stessa somma. Anche i loro rapporti consecutivi si avvicinano a φ, perché il limite viene dalla ricorrenza, non dai due semi.
Il disegno lascia il mio dispositivo?
No. La successione, la spirale, il grafico e i semi sono calcolati nel tuo browser. Salva un PNG o apri il canvas nell'editor PictorX.
Strumenti correlati
La successione di Fibonacci
Ogni numero di Fibonacci è la somma dei due precedenti. Guarda i quadrati diventare una spirale, i rapporti avvicinarsi alla sezione aurea e la formula di Binet ricostruire gli stessi numeri.
La congettura di Collatz
Esplora il problema di Collatz 3n+1 nel browser. Segui le successioni grandine, fai crescere un albero di Collatz geometrico ed esplora con lo zoom il frattale di Collatz continuo.
La congettura di Collatz
La congettura di Collatz è uno dei più famosi enigmi irrisolti della matematica: semplici regole pari/dispari, numeri grandine, Erdős, Terence Tao e due modi per vedere i dati come geometria e come frattale.
Cerchi di moltiplicazione
Collega ogni numero di un cerchio al suo multiplo. Disegna una tabellina, una cardioide o una figura di filo su carta, col gesso o su legno.
Spirale di Ulam
Disegna la spirale di Ulam nel browser. Segna i numeri primi, leggi il polinomio di secondo grado di ogni diagonale e apri la serie ininterrotta di 40 primi di Eulero.
La spirale di Ulam
Come la spirale di Stanisław Ulam del 1963 dispone gli interi su una griglia quadrata, perché i primi si raccolgono su diagonali quadratiche e dove stanno i quaranta primi di Eulero quando la spirale parte da 41.
Pronto a provarlo?
Apri PictorX nel tuo browser: nessuna installazione, nessuna carta di credito richiesta per iniziare.
Prova la successione di Fibonacci