फिबोनाची अनुक्रम के बारे में | स्वर्ण अनुपात और बिने का सूत्र

Q: फिबोनाची अनुक्रम क्या है?

F₀ = 0, F₁ = 1 और Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ से परिभाषित अनुक्रम। यह 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … से शुरू होता है।

Q: अनुपात स्वर्ण अनुपात की ओर क्यों बढ़ता है?

यदि क्रमागत पदों के भागफल सीमा r पर बैठ जाएँ, तो पुनरावृत्ति r = 1 + 1/r थोपती है, अतः r² − r − 1 = 0। धनात्मक हल φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887 है।

Q: बिने का सूत्र क्या है?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, जहाँ ψ = (1 − √5) / 2। ψ की घात सिकुड़ती है, इसलिए Fₙ वह पूर्णांक है जो φⁿ / √5 के सबसे निकट है।

Q: क्या लुकास संख्याएँ भी वैसा ही करती हैं?

हाँ। लुकास संख्याएँ 2 और 1 से शुरू होती हैं और फिर वही योग इस्तेमाल करती हैं। उनके क्रमागत अनुपात भी φ की ओर बढ़ते हैं, क्योंकि सीमा दो बीजों से नहीं, पुनरावृत्ति से आती है।

Q: क्या चित्र मेरे उपकरण से बाहर जाता है?

नहीं। अनुक्रम, सर्पिल, चार्ट और बीज आपके ब्राउज़र में ही गणना होते हैं। PNG सहेजें या PictorX संपादक में कैनवास खोलें।

दो संख्याएँ और एक योग

अनुक्रम आमतौर पर F₀ = 0 और F₁ = 1 से शुरू होता है। प्रत्येक n ≥ 2 के लिए Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂। और कुछ नहीं: न अतिरिक्त गुणक, न सम-विषम जाँच। इन दो बीजों से सूची पूरी तरह तय हो जाती है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

पहली कुछ पद

F₂ = 1 + 0 = 1। F₃ = 1 + 1 = 2। F₄ = 2 + 1 = 3। F₅ = 3 + 2 = 5। प्रत्येक चरण केवल एक और दो स्थान पीछे देखता है। लुकास अनुक्रम उसी योग को अलग बीजों 2 और 1 से इस्तेमाल करता है और 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … देता है। ऐप दोनों में से कोई भी खींच सकता है। सर्पिल के वर्ग फिबोनाची भुजाएँ 1, 1, 2, 3, 5, 8, … लेते हैं, ताकि हर नया वर्ग पहले से बने आयत की लंबी भुजा से मेल खाए।

अनुपात एक संख्या की ओर क्यों बढ़ते हैं

rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁ लिखें। पहले भागफल हैं 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 ≈ 1.6667, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 ≈ 1.6154। वे लगभग 1.618 के ऊपर-नीचे झूलते हैं, और झूला छोटा होता जाता है। मान लीजिए भागफल सीमा r पर बैठ जाते हैं। तब बड़े n के लिए Fₙ / Fₙ₋₁ और Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ दोनों लगभग r हैं। पुनरावृत्ति को Fₙ₋₁ से भाग दें: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁। सीमा में यह r = 1 + 1/r है। r से गुणा करने पर r² = r + 1, या r² − r − 1 = 0। द्विघात सूत्र से r = (1 ± √5) / 2। धनात्मक मूल स्वर्ण अनुपात φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887 है।

स्वर्ण अनुपात की ओर दोलन करते फिबोनाची अनुपात — पहले अनुपात φ के आसपास झूलते हैं, और हर झूला पिछले से छोटा होता है।

नियम में छिपा समीकरण

Fₙ = λⁿ रूप के हल खोजें। पुनरावृत्ति λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻² बन जाती है। λⁿ⁻² से भाग दें तो λ² = λ + 1 मिलता है, वही समीकरण। मूल हैं φ = (1 + √5) / 2 और ψ = (1 − √5) / 2। ψ लगभग −0.618 है, अतः |ψ| < 1 और इसकी घातों का सिकुड़ना 0 की ओर है। फिबोनाची नियम मानने वाला हर अनुक्रम इन दो घातों का मिश्रण है। स्वर्ण अनुपात बाद में चिपकाया तथ्य नहीं। समीकरण φ² = φ + 1 शुद्ध ज्यामितीय अनुक्रम के लिए लिखी पुनरावृत्ति है।

बिने का सूत्र

0 और 1 से शुरू होने वाला मिश्रण बिने का सूत्र है, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5। क्योंकि |ψ| < 1, दूसरी घात जल्दी बहुत छोटी हो जाती है, और Fₙ लगभग φⁿ / √5 है। गायब टुकड़ा हर n के लिए 1/2 से छोटा है, इसलिए φⁿ / √5 को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने से सटीक फिबोनाची संख्या मिलती है। ऐप सटीक पद, φ की घात और सिकुड़ती त्रुटि को साथ-साथ दिखाता है।

रैखिक नियम, कोलात्ज़ से अलग

फिबोनाची संख्याएँ रैखिक पुनरावृत्ति मानती हैं: अगला पद पिछले पदों का निश्चित संयोजन है, और सम-विषम मायने नहीं रखता। कोलात्ज़ अनुक्रम अरैखिक समता नियम n/2 या 3n+1 इस्तेमाल करता है, और यह सिद्ध नहीं हुआ कि हर शुरुआत 1 तक पहुँचे। फिबोनाची नियम पूरी तरह हल है। बंद रूप, वृद्धि और स्वर्ण-अनुपात सीमा सब एक द्विघात समीकरण से आते हैं। लुकास अनुक्रम की तरह दो बीज बदलें, सीमा फिर भी φ है, क्योंकि सीमा नियम में बसती है।

स्वर्ण कोण

एक पूरा चक्कर φ² से भाग देने पर लगभग 137.5078° होता है। उस स्थिर कोण पर बीज रखें और त्रिज्या को अनुक्रमणिका के वर्गमूल की तरह बढ़ने दें, तो बिंदु सर्पिलों में भर जाते हैं। गिनी जा सकने वाली सर्पिलें क्रमागत फिबोनाची संख्याएँ हैं। यही ऐप में सूरजमुखी दृश्य है।

PictorX में देखें

फिबोनाची अनुक्रम खोलकर वर्गों को सर्पिल में बढ़ने दें, अनुपात φ के विरुद्ध आलेखित करें, बिने का सूत्र जाँचें, या स्वर्ण कोण पर बीज बिखेरें। लुकास संख्याओं पर जाएँ — अनुपात फिर भी φ की ओर बढ़ते हैं। खींचकर हटाएँ, स्क्रॉल से ज़ूम करें, फिर PNG सहेजें या PictorX संपादक में कैनवास खोलें। कोलात्ज़ अनुमान या गुणन वृत्तों के साथ जोड़ें — छोटी नियम से और चित्र।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

फिबोनाची अनुक्रम क्या है?

F₀ = 0, F₁ = 1 और Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ से परिभाषित अनुक्रम। यह 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … से शुरू होता है।

अनुपात स्वर्ण अनुपात की ओर क्यों बढ़ता है?

यदि क्रमागत पदों के भागफल सीमा r पर बैठ जाएँ, तो पुनरावृत्ति r = 1 + 1/r थोपती है, अतः r² − r − 1 = 0। धनात्मक हल φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887 है।

बिने का सूत्र क्या है?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, जहाँ ψ = (1 − √5) / 2। ψ की घात सिकुड़ती है, इसलिए Fₙ वह पूर्णांक है जो φⁿ / √5 के सबसे निकट है।

क्या लुकास संख्याएँ भी वैसा ही करती हैं?

हाँ। लुकास संख्याएँ 2 और 1 से शुरू होती हैं और फिर वही योग इस्तेमाल करती हैं। उनके क्रमागत अनुपात भी φ की ओर बढ़ते हैं, क्योंकि सीमा दो बीजों से नहीं, पुनरावृत्ति से आती है।

क्या चित्र मेरे उपकरण से बाहर जाता है?

नहीं। अनुक्रम, सर्पिल, चार्ट और बीज आपके ब्राउज़र में ही गणना होते हैं। PNG सहेजें या PictorX संपादक में कैनवास खोलें।