متتالية فيبوناتشي
متتالية فيبوناتشي هي قائمة الأعداد التي كل حد فيها مجموع الحدين السابقين. القاعدة نفسها تدفع نسبة الحدود المتتالية نحو النسبة الذهبية، ولهذا تعمل صيغة بينيه.
عددان ومجموع
تبدأ المتتالية عادة عند F₀ = 0 و F₁ = 1. لكل n لا يقل عن 2 يكون Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. لا يدخل شيء آخر: بلا عامل إضافي وبلا اختبار للزوجي أو الفردي. من هذين البذرين تتحدد القائمة بالكامل: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، …
الحدود الأولى
F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. كل خطوة تنظر فقط موضعًا واحدًا وموضعين إلى الوراء. متتالية لوكاس تستخدم الجمع نفسه ببذور مختلفة، 2 و 1، فتعطي 2، 1، 3، 4، 7، 11، 18، … ويمكن للتطبيق رسم أي منهما. مربعات الحلزون تستخدم أضلاع فيبوناتشي 1، 1، 2، 3، 5، 8، … بحيث يطابق كل مربع جديد الضلع الطويل للمستطيل المرسوم أصلًا.
لماذا تقترب النسب من عدد واحد
اكتب rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. أول النواتج هي 1/1 = 1، 2/1 = 2، 3/2 = 1.5، 5/3 ≈ 1.6667، 8/5 = 1.6، 13/8 = 1.625، 21/13 ≈ 1.6154. تتأرجح فوق قيمة قرب 1.618 وتحتها، ويصغر التأرجح. افترض أن النواتج تستقر عند نهاية r. عندئذ لـ n الكبير يكون Fₙ / Fₙ₋₁ و Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ كليهما حوالي r. اقسم العلاقة التكرارية على Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. في النهاية يكون r = 1 + 1/r. اضرب في r فتحصل على r² = r + 1، أو r² − r − 1 = 0. الصيغة التربيعية تعطي r = (1 ± √5) / 2. الجذر الموجب هو النسبة الذهبية φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887.
المعادلة المخفية في القاعدة
ابحث عن حلول من الشكل Fₙ = λⁿ. تصبح العلاقة التكرارية λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². اقسم على λⁿ⁻² فتحصل على λ² = λ + 1، المعادلة نفسها كما قبل. جذراها φ = (1 + √5) / 2 و ψ = (1 − √5) / 2. ψ حوالي −0.618، لذا |ψ| < 1 وتتناقص قواه نحو 0. كل متتالية تطيع قاعدة فيبوناتشي خليط من هاتين القوتين. النسبة الذهبية ليست حقيقة ملصقة لاحقًا. المعادلة φ² = φ + 1 هي التكرار مكتوبًا لمتتالية هندسية خالصة.
صيغة بينيه
الخليط الذي يبدأ عند 0 و 1 هو صيغة بينيه، Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. ولأن |ψ| < 1 تصبح القوة الثانية ضئيلة سريعًا، ويكون Fₙ تقريبًا φⁿ / √5. الجزء الناقص أصغر من 1/2 لكل n، لذا تقريب φⁿ / √5 إلى أقرب عدد صحيح يعطي عدد فيبوناتشي الدقيق. يعرض التطبيق الحد الدقيق وقوة φ والخطأ المتقلص جنبًا إلى جنب.
قاعدة خطية، بخلاف كولاتز
تتبع أعداد فيبوناتشي تكرارًا خطيًا: الحد التالي تركيبة ثابتة من السابقين، ولا يهم إن كانت زوجية أو فردية. متتالية كولاتز تستخدم قاعدة زوجية غير خطية، n/2 أو 3n+1، ولم يثبت أحد أن كل بداية تصل إلى 1. قاعدة فيبوناتشي محلولة بالكامل. صيغتها المغلقة ونموها ونهاية النسبة الذهبية كلها من معادلة تربيعية واحدة. غيّر البذرين كما تفعل متتالية لوكاس، وتبقى النهاية φ، لأن النهاية تعيش في القاعدة.
الزاوية الذهبية
دورة كاملة مقسومة على φ² حوالي 137.5078°. ضع البذور عند تلك الزاوية الثابتة ودع نصف القطر ينمو كجذر تربيعي لدليل البذرة، فتتكدس النقاط في حلزونات. الحلزونات التي يمكن عدّها أعداد فيبوناتشي متتالية. هذا هو عرض دوار الشمس في التطبيق.
استكشفه في PictorX
افتح متتالية فيبوناتشي لتنمو المربعات إلى حلزون، وارسم النسب مقابل φ، وتحقق من صيغة بينيه، أو انثر البذور عند الزاوية الذهبية. انتقل إلى أعداد لوكاس وتظل النسب تقترب من φ. اسحب للتحريك، ومرّر للتكبير، ثم احفظ PNG أو افتح اللوحة في محرر PictorX. اقرنها بحدسية كولاتز أو دوائر الضرب لمزيد من الصور من قاعدة قصيرة.
الأسئلة المتداولة
ما متتالية فيبوناتشي؟
المتتالية المعرّفة بـ F₀ = 0 و F₁ = 1 و Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. تبدأ 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، …
لماذا تقترب النسبة من النسبة الذهبية؟
إذا استقرت نواتج الحدود المتتالية عند نهاية r، فإن التكرار يفرض r = 1 + 1/r، لذا r² − r − 1 = 0. الحل الموجب هو φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887.
ما صيغة بينيه؟
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5، مع ψ = (1 − √5) / 2. تتقلص قوة ψ، لذا Fₙ هو العدد الصحيح الأقرب إلى φⁿ / √5.
هل تفعل أعداد لوكاس الشيء نفسه؟
نعم. تبدأ أعداد لوكاس عند 2 و 1 ثم تستخدم المجموع نفسه. نسبها المتتالية تقترب أيضًا من φ، لأن النهاية تأتي من التكرار لا من البذرين.
هل يغادر الرسم جهازي؟
لا. تُحسب المتتالية والحلزون والمخطط والبذور في متصفحك. احفظ PNG أو افتح اللوحة في محرر PictorX.
الأدوات ذات الصلة
متتالية فيبوناتشي
كل عدد فيبوناتشي هو مجموع العددين السابقين. شاهد المربعات وهي تصير حلزونًا، والنسب وهي تقترب من النسبة الذهبية، وصيغة بينيه وهي تعيد بناء الأعداد نفسها.
حدسية كولاتز
استكشف مسألة كولاتز 3n+1 في متصفحك. تتبّع متتاليات البَرَد، ونمِّ شجرة كولاتز هندسية، وكبّر كسيرية كولاتز المتصلة.
حدسية كولاتز
حدسية كولاتز من أشهر الألغاز غير المحلولة في الرياضيات: قواعد زوجي/فردي بسيطة، وأعداد البَرَد، وإردوش، وتيرينس تاو، وطريقتان لرؤية البيانات هندسةً وكسيريةً.
دوائر الضرب
صِل كل عدد على دائرة بمضاعفه. ارسم جدول ضرب أو منحنى قلبيًا أو شكلًا من الخيوط على الورق أو بالطباشير أو على الخشب.
حلزون أولام
ارسم حلزون أولام في متصفحك. علِّم الأعداد الأولية، واقرأ كثير الحدود التربيعي على كل قطر، وافتح سلسلة أويلر المتصلة من 40 عددًا أوليًا.
حلزون أولام
كيف يضع حلزون ستانيسواف أولام لعام 1963 الأعداد الصحيحة على شبكة مربعة، ولماذا تتجمع الأعداد الأولية على أقطار تربيعية، وأين تقع أعداد أويلر الأولية الأربعون حين يبدأ الحلزون من 41.
هل أنت مستعد لتجربتها؟
افتح PictorX في متصفحك - بدون تثبيت، ولا يلزم وجود بطاقة ائتمان للبدء.
جرّب متتالية فيبوناتشي