Despre șirul Fibonacci | Secțiunea de aur și formula lui Binet

Q: De ce se apropie raportul de secțiunea de aur?

Dacă câturi termenilor consecutivi se stabilizează la o limită r, recurența forțează r = 1 + 1/r, deci r² − r − 1 = 0. Soluția pozitivă este φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Q: Ce este formula lui Binet?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, cu ψ = (1 − √5) / 2. Puterea lui ψ se micșorează, deci Fₙ este întregul cel mai apropiat de φⁿ / √5.

Q: Fac numerele lui Lucas același lucru?

Da. Numerele lui Lucas pornesc de la 2 și 1, apoi folosesc aceeași sumă. Rapoartele lor consecutive se apropie și ele de φ, pentru că limita vine din recurență, nu din cele două semințe.

Q: Părăsește desenul dispozitivul meu?

Nu. Șirul, spirala, graficul și semințele sunt calculate în browserul tău. Salvează un PNG sau deschide pânza în editorul PictorX.

Două numere și o sumă

Șirul începe de obicei cu F₀ = 0 și F₁ = 1. Pentru fiecare n cel puțin 2, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Nu intervine nimic altceva: niciun factor în plus și niciun test de par sau impar. Din acele două semințe lista este complet determinată: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Primii termeni

F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Fiecare pas privește doar cu un loc și cu două locuri înapoi. Șirul lui Lucas folosește aceeași adunare cu semințe diferite, 2 și 1, și dă 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … Aplicația poate trasa oricare. Pătratele spiralei folosesc laturile Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, astfel încât fiecare pătrat nou se potrivește pe latura lungă a dreptunghiului deja desenat.

De ce rapoartele se apropie de un număr

Scrie rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. Primele câturi sunt 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. Oscilează deasupra și sub o valoare aproape de 1,618, iar oscilația se micșorează. Presupune că câturi se stabilizează la o limită r. Atunci pentru n mare, Fₙ / Fₙ₋₁ și Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ sunt ambele aproximativ r. Împarte recurența la Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. La limită asta e r = 1 + 1/r. Înmulțește cu r și obții r² = r + 1, sau r² − r − 1 = 0. Formula pătratică dă r = (1 ± √5) / 2. Rădăcina pozitivă este secțiunea de aur φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Rapoarte Fibonacci care oscilează spre secțiunea de aur — Primele rapoarte oscilează în jurul lui φ, și fiecare oscilație este mai mică decât precedenta.

Ecuația ascunsă în regulă

Caută soluții de forma Fₙ = λⁿ. Recurența devine λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Împarte la λⁿ⁻² și obții λ² = λ + 1, aceeași ecuație ca înainte. Rădăcinile sunt φ = (1 + √5) / 2 și ψ = (1 − √5) / 2. ψ este cam −0,618, deci |ψ| < 1, iar puterile se micșorează spre 0. Orice șir care respectă regula Fibonacci este un amestec al acestor două puteri. Secțiunea de aur nu este un fapt lipit ulterior. Ecuația φ² = φ + 1 este recurența scrisă pentru un șir geometric pur.

Formula lui Binet

Amestecul care pornește de la 0 și 1 este formula lui Binet, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Pentru că |ψ| < 1, a doua putere devine curând minusculă, iar Fₙ este aproape φⁿ / √5. Bucata lipsă este mai mică decât 1/2 pentru fiecare n, deci rotunjirea lui φⁿ / √5 la cel mai apropiat întreg dă numărul Fibonacci exact. Aplicația listează termenul exact, puterea lui φ și eroarea care se micșorează, una lângă alta.

O regulă liniară, spre deosebire de Collatz

Numerele Fibonacci urmează o recurență liniară: termenul următor este o combinație fixă a celor anteriori, și nu contează dacă sunt pare sau impare. Șirul Collatz folosește o regulă de paritate neliniară, n/2 sau 3n+1, și nimeni nu a dovedit că fiecare start ajunge la 1. Regula Fibonacci este rezolvată complet. Forma închisă, creșterea și limita secțiunii de aur vin toate dintr-o singură ecuație pătratică. Schimbă cele două semințe, cum face șirul lui Lucas, și limita rămâne φ, pentru că limita trăiește în regulă.

Unghiul de aur

O tură completă împărțită la φ² este circa 137,5078°. Pune semințe la acel unghi fix și lasă raza să crească ca rădăcina pătrată a indexului, iar punctele se împachetează în spirale. Spiralele pe care le poți număra sunt numere Fibonacci consecutive. Aceasta este vederea floarea-soarelui din aplicație.

Explorează-l în PictorX

Deschide șirul Fibonacci ca să crească pătratele într-o spirală, trasează rapoartele față de φ, verifică formula lui Binet sau împrăștie semințe la unghiul de aur. Treci la numerele lui Lucas și rapoartele se apropie tot de φ. Trage ca să muți, derulează ca să mărești, apoi salvează un PNG sau deschide pânza în editorul PictorX. Combină-l cu conjectura Collatz sau cu cercurile de înmulțire pentru mai multe imagini dintr-o regulă scurtă.

Întrebări frecvente

Ce este șirul Fibonacci?

Șirul definit prin F₀ = 0, F₁ = 1 și Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Începe 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

De ce se apropie raportul de secțiunea de aur?

Dacă câturi termenilor consecutivi se stabilizează la o limită r, recurența forțează r = 1 + 1/r, deci r² − r − 1 = 0. Soluția pozitivă este φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Ce este formula lui Binet?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, cu ψ = (1 − √5) / 2. Puterea lui ψ se micșorează, deci Fₙ este întregul cel mai apropiat de φⁿ / √5.

Fac numerele lui Lucas același lucru?

Da. Numerele lui Lucas pornesc de la 2 și 1, apoi folosesc aceeași sumă. Rapoartele lor consecutive se apropie și ele de φ, pentru că limita vine din recurență, nu din cele două semințe.

Părăsește desenul dispozitivul meu?

Nu. Șirul, spirala, graficul și semințele sunt calculate în browserul tău. Salvează un PNG sau deschide pânza în editorul PictorX.