Fibonacci dizisi hakkında | Altın oran ve Binet formülü

Q: Fibonacci dizisi nedir?

F₀ = 0, F₁ = 1 ve Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ ile tanımlanan dizi. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … ile başlar.

Q: Oran neden altın orana yaklaşır?

Ardışık terimlerin bölümleri bir r sınırına oturursa, özyineleme r = 1 + 1/r’yi zorlar; yani r² − r − 1 = 0. Pozitif çözüm φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887’dir.

Q: Binet formülü nedir?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5 ve ψ = (1 − √5) / 2. ψ’nin kuvveti küçülür, bu yüzden Fₙ, φⁿ / √5’e en yakın tam sayıdır.

Q: Lucas sayıları da aynı şeyi mi yapar?

Evet. Lucas sayıları 2 ve 1’de başlar, sonra aynı toplamı kullanır. Ardışık oranları da φ’ye yaklaşır; çünkü limit özyinelemeden gelir, iki tohumdan değil.

Q: Çizim cihazımdan çıkar mı?

Hayır. Dizi, spiral, grafik ve tohumlar tarayıcınızda hesaplanır. Bir PNG kaydedin veya tuvali PictorX düzenleyicide açın.

İki sayı ve bir toplam

Dizi genellikle F₀ = 0 ve F₁ = 1 ile başlar. En az 2 olan her n için Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Başka bir şey yoktur: ek çarpan yok, çift veya tek testi yok. Bu iki tohumdan liste tamamen belirlenir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

İlk terimler

F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Her adım yalnızca bir ve iki yer geriye bakar. Lucas dizisi aynı toplamayı farklı tohumlarla, 2 ve 1 ile kullanır ve 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … olur. Uygulama ikisini de çizebilir. Spiralin kareleri Fibonacci kenarlarını 1, 1, 2, 3, 5, 8, … kullanır; böylece her yeni kare, zaten çizilmiş dikdörtgenin uzun kenarına uyar.

Oranlar neden tek bir sayıya yaklaşır

rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁ yazın. İlk bölümler 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. 1,618 civarındaki bir değerin üstünde ve altında salınırlar ve salınım küçülür. Bölümlerin bir r sınırına oturduğunu varsayın. O zaman büyük n için Fₙ / Fₙ₋₁ ile Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ ikisi de yaklaşık r olur. Özyinelemeyi Fₙ₋₁ ile bölün: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. Limitte bu r = 1 + 1/r olur. r ile çarpınca r² = r + 1, yani r² − r − 1 = 0. İkinci dereceden formül r = (1 ± √5) / 2 verir. Pozitif kök altın oran φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887’dir.

Altın orana salınan Fibonacci oranları — İlk oranlar φ çevresinde salınır ve her salınım bir öncekinden küçüktür.

Kuralın içindeki denklem

Fₙ = λⁿ biçiminde çözümler arayın. Özyineleme λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻² olur. λⁿ⁻² ile bölünce λ² = λ + 1 elde edersiniz; öncekiyle aynı denklem. Kökleri φ = (1 + √5) / 2 ve ψ = (1 − √5) / 2’dir. ψ yaklaşık −0,618’dir, yani |ψ| < 1 ve kuvvetleri 0’a küçülür. Fibonacci kuralına uyan her dizi bu iki kuvvetin karışımıdır. Altın oran sonradan yapıştırılmış ekstra bir olgu değildir. φ² = φ + 1 denklemi, saf bir geometrik dizi için yazılmış özyinelemedir.

Binet formülü

0 ve 1’de başlayan karışım Binet formülüdür: Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. |ψ| < 1 olduğu için ikinci kuvvet kısa sürede küçülür ve Fₙ neredeyse φⁿ / √5 olur. Eksik parça her n için 1/2’den küçüktür; bu yüzden φⁿ / √5’i en yakın tam sayıya yuvarlamak tam Fibonacci sayısını verir. Uygulama tam terimi, φ’nin kuvvetini ve küçülen hatayı yan yana listeler.

Collatz’tan farklı, doğrusal bir kural

Fibonacci sayıları doğrusal bir özyineleme izler: sonraki terim öncekilerin sabit bir birleşimidir ve çift ya da tek olmaları önemli değildir. Collatz dizisi doğrusal olmayan bir parite kuralı kullanır, n/2 veya 3n+1, ve her başlangıcın 1’e ulaştığı henüz kanıtlanmamıştır. Fibonacci kuralı tamamen çözülmüştür. Kapalı biçimi, büyümesi ve altın oran limiti tek bir ikinci dereceden denklemden gelir. Lucas dizisinde olduğu gibi iki tohumu değiştirin; limit yine φ’dir, çünkü limit kuralın içindedir.

Altın açı

Tam bir tur φ²’ye bölününce yaklaşık 137,5078° olur. Tohumları bu sabit açıyla yerleştirip yarıçapın indeksin karekökü gibi büyümesine izin verin; noktalar spiraller halinde paketlenir. Sayabileceğiniz spiraller ardışık Fibonacci sayılarıdır. Bu, uygulamadaki ayçiçeği görünümüdür.

PictorX’te keşfedin

Kareleri spirale büyütmek, oranları φ’ye karşı çizmek, Binet formülünü kontrol etmek veya altın açıda tohum saçmak için Fibonacci dizisini açın. Lucas sayılarına geçin; oranlar yine φ’ye yaklaşır. Taşımak için sürükleyin, yakınlaştırmak için kaydırın, sonra bir PNG kaydedin veya tuvali PictorX düzenleyicide açın. Kısa bir kuraldan daha fazla görüntü için Collatz Sanısı veya Çarpma Çemberleriyle eşleştirin.

Sık sorulan sorular

Fibonacci dizisi nedir?

F₀ = 0, F₁ = 1 ve Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ ile tanımlanan dizi. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … ile başlar.

Oran neden altın orana yaklaşır?

Ardışık terimlerin bölümleri bir r sınırına oturursa, özyineleme r = 1 + 1/r’yi zorlar; yani r² − r − 1 = 0. Pozitif çözüm φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887’dir.

Binet formülü nedir?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5 ve ψ = (1 − √5) / 2. ψ’nin kuvveti küçülür, bu yüzden Fₙ, φⁿ / √5’e en yakın tam sayıdır.

Lucas sayıları da aynı şeyi mi yapar?

Evet. Lucas sayıları 2 ve 1’de başlar, sonra aynı toplamı kullanır. Ardışık oranları da φ’ye yaklaşır; çünkü limit özyinelemeden gelir, iki tohumdan değil.

Çizim cihazımdan çıkar mı?

Hayır. Dizi, spiral, grafik ve tohumlar tarayıcınızda hesaplanır. Bir PNG kaydedin veya tuvali PictorX düzenleyicide açın.