О последовательности Фибоначчи | Золотое сечение и формула Бине

Q: Почему отношение стремится к золотому сечению?

Если частные соседних членов стремятся к пределу r, рекурренция требует r = 1 + 1/r, значит r² − r − 1 = 0. Положительное решение — φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Q: Что такое формула Бине?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, где ψ = (1 − √5) / 2. Степень ψ сжимается, поэтому Fₙ — целое, ближайшее к φⁿ / √5.

Q: Числа Люка делают то же самое?

Да. Числа Люка начинаются с 2 и 1 и дальше используют ту же сумму. Их соседние отношения тоже стремятся к φ, потому что предел живёт в рекурренции, а не в двух зёрнах.

Q: Покидает ли рисунок моё устройство?

Нет. Последовательность, спираль, график и семена считаются в вашем браузере. Сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX.

Два числа и сумма

Последовательность обычно начинается с F₀ = 0 и F₁ = 1. Для каждого n не меньше 2 выполняется Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Больше ничего нет: ни лишнего множителя, ни проверки на чётность. Из этих двух зёрен список полностью определён: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Первые члены

F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Каждый шаг смотрит только на одно и на два места назад. Последовательность Люка использует то же сложение с другими зёрнами, 2 и 1, и даёт 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … Приложение может нарисовать любую из них. Квадраты спирали имеют стороны Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, так что каждый новый квадрат совпадает с длинной стороной уже нарисованного прямоугольника.

Почему отношения стремятся к одному числу

Запишем rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. Первые частные: 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. Они качаются выше и ниже значения около 1,618, и размах уменьшается. Пусть частные стремятся к пределу r. Тогда при больших n и Fₙ / Fₙ₋₁, и Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ примерно равны r. Разделим рекурренцию на Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. В пределе это r = 1 + 1/r. Умножив на r, получаем r² = r + 1, или r² − r − 1 = 0. Квадратичная формула даёт r = (1 ± √5) / 2. Положительный корень — золотое сечение φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Отношения Фибоначчи, колеблющиеся к золотому сечению — Первые отношения качаются вокруг φ, и каждое качание меньше предыдущего.

Уравнение, скрытое в правиле

Ищем решения вида Fₙ = λⁿ. Рекурренция становится λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Деление на λⁿ⁻² даёт λ² = λ + 1 — то же уравнение, что и раньше. Корни: φ = (1 + √5) / 2 и ψ = (1 − √5) / 2. ψ около −0,618, так что |ψ| < 1 и его степени стремятся к 0. Любая последовательность, подчиняющаяся правилу Фибоначчи, — смесь этих двух степеней. Золотое сечение не приклеено потом. Уравнение φ² = φ + 1 — это рекурренция, записанная для чистой геометрической последовательности.

Формула Бине

Смесь, начинающаяся с 0 и 1, — это формула Бине Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Поскольку |ψ| < 1, вторая степень быстро становится крошечной, и Fₙ почти равна φⁿ / √5. Недостающий кусок меньше 1/2 для каждого n, поэтому округление φⁿ / √5 до ближайшего целого даёт точное число Фибоначчи. Приложение выводит точный член, степень φ и сжимающуюся ошибку рядом.

Линейное правило, в отличие от Коллатца

Числа Фибоначчи подчиняются линейной рекурренции: следующий член — фиксированная комбинация предыдущих, и чётность не важна. Последовательность Коллатца использует нелинейное правило чётности, n/2 или 3n+1, и никто не доказал, что любой старт доходит до 1. Правило Фибоначчи решено полностью. Замкнутая форма, рост и предел золотого сечения вытекают из одного квадратного уравнения. Смените два зерна, как в последовательности Люка, и предел всё равно φ, потому что предел живёт в правиле.

Золотой угол

Полный оборот, делённый на φ², — около 137,5078°. Разместите семена под этим фиксированным углом и пусть радиус растёт как квадратный корень индекса — точки упакуются в спирали. Спирали, которые можно сосчитать, — это подряд идущие числа Фибоначчи. Это вид подсолнуха в приложении.

Исследуйте в PictorX

Откройте последовательность Фибоначчи, чтобы квадраты выросли в спираль, постройте отношения к φ, проверьте формулу Бине или разбросайте семена под золотым углом. Переключитесь на числа Люка — отношения всё равно стремятся к φ. Перетащите для сдвига, прокрутите для масштаба, затем сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX. Сочетайте с гипотезой Коллатца или кругами умножения — ещё картинки из короткого правила.

Часто задаваемые вопросы

Что такое последовательность Фибоначчи?

Последовательность с F₀ = 0, F₁ = 1 и Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Начинается 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Почему отношение стремится к золотому сечению?

Если частные соседних членов стремятся к пределу r, рекурренция требует r = 1 + 1/r, значит r² − r − 1 = 0. Положительное решение — φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Что такое формула Бине?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, где ψ = (1 − √5) / 2. Степень ψ сжимается, поэтому Fₙ — целое, ближайшее к φⁿ / √5.

Числа Люка делают то же самое?

Да. Числа Люка начинаются с 2 и 1 и дальше используют ту же сумму. Их соседние отношения тоже стремятся к φ, потому что предел живёт в рекурренции, а не в двух зёрнах.

Покидает ли рисунок моё устройство?

Нет. Последовательность, спираль, график и семена считаются в вашем браузере. Сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX.