Om Fibonacciföljden | Gyllene snittet och Binets formel

Q: Varför närmar sig kvoten gyllene snittet?

Om kvoterna av på varandra följande termer landar på ett gränsvärde r tvingar rekursionen fram r = 1 + 1/r, så r² − r − 1 = 0. Den positiva lösningen är φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Q: Vad är Binets formel?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, med ψ = (1 − √5) / 2. Potensen av ψ krymper, så Fₙ är heltalet närmast φⁿ / √5.

Q: Gör Lucastal samma sak?

Ja. Lucastal börjar med 2 och 1 och använder sedan samma summa. Deras på varandra följande kvoter närmar sig också φ, eftersom gränsen kommer från rekursionen, inte från de två fröna.

Q: Lämnar ritningen min enhet?

Nej. Följden, spiralen, diagrammet och fröna beräknas i din webbläsare. Spara en PNG eller öppna duken i PictorX-redigeraren.

Två tal och en summa

Följden börjar vanligen med F₀ = 0 och F₁ = 1. För varje n minst 2 gäller Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Inget mer behövs: ingen extra faktor och ingen test av jämnt eller udda. Från de två fröna är listan helt bestämd: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

De första termerna

F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Varje steg tittar bara en och två platser bakåt. Lucasföljden använder samma addition med andra frön, 2 och 1, och blir 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … Appen kan rita båda. Spiralens kvadrater har Fibonaccisidorna 1, 1, 2, 3, 5, 8, … så att varje ny kvadrat passar den långa sidan av den redan ritade rektangeln.

Varför kvoterna närmar sig ett tal

Skriv rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. De första kvoterna är 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. De svänger över och under ett värde nära 1,618, och svängningen blir mindre. Anta att kvoterna landar på ett gränsvärde r. Då är både Fₙ / Fₙ₋₁ och Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ för stora n ungefär r. Dividera rekursionen med Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. I gränsen blir det r = 1 + 1/r. Multiplicera med r så får du r² = r + 1, eller r² − r − 1 = 0. Kvadratformeln ger r = (1 ± √5) / 2. Den positiva roten är gyllene snittet φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Fibonaccikvoter som svänger mot gyllene snittet — De första kvoterna svänger runt φ, och varje svängning är mindre än den föregående.

Ekvationen dold i regeln

Sök lösningar av formen Fₙ = λⁿ. Rekursionen blir λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Dividera med λⁿ⁻² så får du λ² = λ + 1, samma ekvation som tidigare. Rötterna är φ = (1 + √5) / 2 och ψ = (1 − √5) / 2. ψ är ungefär −0,618, så |ψ| < 1 och potenserna krymper mot 0. Varje följd som lyder Fibonacci-regeln är en blandning av dessa två potenser. Gyllene snittet är inte ett extra faktum som limmats på efteråt. Ekvationen φ² = φ + 1 är rekursionen skriven för en ren geometrisk följd.

Binets formel

Blandningen som startar vid 0 och 1 är Binets formel, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Eftersom |ψ| < 1 blir den andra potensen snart pytteliten, och Fₙ är nästan φⁿ / √5. Den saknade biten är mindre än 1/2 för varje n, så avrundning av φⁿ / √5 till närmaste heltal ger det exakta Fibonaccitalet. Appen listar den exakta termen, potensen av φ och det krympande felet sida vid sida.

En linjär regel, till skillnad från Collatz

Fibonaccital följer en linjär rekursion: nästa term är en fast kombination av de föregående, och det spelar ingen roll om de är jämna eller udda. Collatzföljden använder en ickelinjär paritetsregel, n/2 eller 3n+1, och ingen har bevisat att varje start når 1. Fibonacciregeln är helt löst. Sluten form, tillväxt och gränsen för gyllene snittet kommer alla ur en kvadratisk ekvation. Byt de två fröna, som Lucasföljden gör, och gränsen är fortfarande φ, eftersom gränsen bor i regeln.

Den gyllene vinkeln

Ett fullt varv delat med φ² är ungefär 137,5078°. Placera frön i den fasta vinkeln och låt radien växa som kvadratroten av indexet, så packas punkterna i spiraler. Spiralerna du kan räkna är på varandra följande Fibonaccital. Det är solrosvyn i appen.

Utforska det i PictorX

Öppna Fibonacciföljden för att låta kvadraterna växa till en spiral, rita kvoterna mot φ, kontrollera Binets formel eller strö frön i den gyllene vinkeln. Byt till Lucastal och kvoterna närmar sig fortfarande φ. Dra för att flytta, rulla för att zooma, spara sedan en PNG eller öppna duken i PictorX-redigeraren. Para den med Collatzförmodan eller multiplikationscirklar för fler bilder från en kort regel.

Ofta ställda frågor

Vad är Fibonacciföljden?

Följden definierad av F₀ = 0, F₁ = 1 och Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Den börjar 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Varför närmar sig kvoten gyllene snittet?

Om kvoterna av på varandra följande termer landar på ett gränsvärde r tvingar rekursionen fram r = 1 + 1/r, så r² − r − 1 = 0. Den positiva lösningen är φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Vad är Binets formel?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, med ψ = (1 − √5) / 2. Potensen av ψ krymper, så Fₙ är heltalet närmast φⁿ / √5.

Gör Lucastal samma sak?

Ja. Lucastal börjar med 2 och 1 och använder sedan samma summa. Deras på varandra följande kvoter närmar sig också φ, eftersom gränsen kommer från rekursionen, inte från de två fröna.

Lämnar ritningen min enhet?

Nej. Följden, spiralen, diagrammet och fröna beräknas i din webbläsare. Spara en PNG eller öppna duken i PictorX-redigeraren.