Dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci là dãy số trong đó mỗi số là tổng của hai số đứng trước. Cùng quy tắc đó đẩy tỉ số của các số liên tiếp về tỉ lệ vàng, và đó là lý do công thức Binet đúng.
Hai số và một tổng
Dãy thường bắt đầu ở F₀ = 0 và F₁ = 1. Với mọi n ít nhất là 2, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Không còn gì khác: không hệ số thêm và không kiểm tra chẵn hay lẻ. Từ hai hạt giống đó, danh sách được xác định hoàn toàn: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Một vài số hạng đầu
F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Mỗi bước chỉ nhìn một và hai vị trí về trước. Dãy Lucas dùng cùng phép cộng với hạt giống khác, 2 và 1, và cho 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … Ứng dụng có thể vẽ cả hai. Các hình vuông của xoắn ốc dùng cạnh Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, … nên mỗi hình vuông mới khớp cạnh dài của hình chữ nhật đã vẽ.
Vì sao các tỉ số tiến tới một số
Viết rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. Các thương đầu là 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. Chúng dao động trên và dưới một giá trị gần 1,618, và biên độ nhỏ dần. Giả sử các thương ổn định ở giới hạn r. Khi đó với n lớn, Fₙ / Fₙ₋₁ và Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ đều khoảng r. Chia hệ thức truy hồi cho Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. Ở giới hạn ta có r = 1 + 1/r. Nhân với r được r² = r + 1, hay r² − r − 1 = 0. Công thức nghiệm bậc hai cho r = (1 ± √5) / 2. Nghiệm dương là tỉ lệ vàng φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
Phương trình ẩn trong quy tắc
Tìm nghiệm dạng Fₙ = λⁿ. Hệ thức truy hồi thành λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Chia cho λⁿ⁻² được λ² = λ + 1, cùng phương trình như trước. Các nghiệm là φ = (1 + √5) / 2 và ψ = (1 − √5) / 2. ψ khoảng −0,618 nên |ψ| < 1 và các lũy thừa co về 0. Mọi dãy tuân quy tắc Fibonacci đều là hỗn hợp hai lũy thừa đó. Tỉ lệ vàng không phải sự kiện gắn thêm sau. Phương trình φ² = φ + 1 chính là hệ thức viết cho một cấp số nhân thuần.
Công thức Binet
Hỗn hợp bắt đầu từ 0 và 1 là công thức Binet, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Vì |ψ| < 1, lũy thừa thứ hai sớm trở nên rất nhỏ, và Fₙ gần bằng φⁿ / √5. Phần thiếu nhỏ hơn 1/2 với mọi n, nên làm tròn φⁿ / √5 về số nguyên gần nhất cho đúng số Fibonacci. Ứng dụng liệt kê số hạng chính xác, lũy thừa của φ và sai số đang co lại cạnh nhau.
Quy tắc tuyến tính, khác Collatz
Số Fibonacci tuân hệ thức tuyến tính: số hạng sau là tổ hợp cố định của các số trước, và chẵn hay lẻ không quan trọng. Dãy Collatz dùng quy tắc chẵn lẻ phi tuyến, n/2 hoặc 3n+1, và chưa ai chứng minh mọi điểm bắt đầu đều tới 1. Quy tắc Fibonacci được giải trọn. Dạng đóng, sự tăng trưởng và giới hạn tỉ lệ vàng đều đến từ một phương trình bậc hai. Đổi hai hạt giống như dãy Lucas, giới hạn vẫn là φ, vì giới hạn nằm trong quy tắc.
Góc vàng
Một vòng đầy đủ chia cho φ² khoảng 137,5078°. Đặt hạt theo góc cố định đó, cho bán kính tăng như căn bậc hai của chỉ số, và các điểm xếp thành xoắn ốc. Các xoắn ốc đếm được là các số Fibonacci liên tiếp. Đó là chế độ hướng dương trong ứng dụng.
Khám phá trong PictorX
Mở dãy Fibonacci để các hình vuông lớn thành xoắn ốc, vẽ tỉ số đối với φ, kiểm tra công thức Binet, hoặc rải hạt theo góc vàng. Chuyển sang số Lucas thì tỉ số vẫn tiến tới φ. Kéo để dịch, cuộn để phóng, rồi lưu PNG hoặc mở canvas trong trình chỉnh sửa PictorX. Ghép với giả thuyết Collatz hoặc vòng tròn nhân để có thêm hình từ một quy tắc ngắn.
Hỏi thường xuyên
Dãy Fibonacci là gì?
Dãy xác định bởi F₀ = 0, F₁ = 1 và Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Bắt đầu 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Vì sao tỉ số tiến tới tỉ lệ vàng?
Nếu các thương của số hạng liên tiếp ổn định ở giới hạn r, hệ thức truy hồi buộc r = 1 + 1/r, nên r² − r − 1 = 0. Nghiệm dương là φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
Công thức Binet là gì?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, với ψ = (1 − √5) / 2. Lũy thừa của ψ co lại, nên Fₙ là số nguyên gần φⁿ / √5 nhất.
Số Lucas có làm điều tương tự không?
Có. Số Lucas bắt đầu ở 2 và 1 rồi dùng cùng phép cộng. Tỉ số liên tiếp của chúng cũng tiến tới φ, vì giới hạn đến từ hệ thức truy hồi, không phải từ hai hạt giống.
Hình vẽ có rời thiết bị của tôi không?
Không. Dãy, xoắn ốc, biểu đồ và hạt đều được tính trong trình duyệt của bạn. Lưu PNG hoặc mở canvas trong trình chỉnh sửa PictorX.
Công cụ liên quan
Dãy Fibonacci
Mỗi số Fibonacci là tổng của hai số đứng trước. Xem các hình vuông thành vòng xoắn, các tỉ số tiến tới tỉ lệ vàng, và công thức Binet dựng lại đúng những số đó.
Giả thuyết Collatz
Khám phá bài toán Collatz 3n+1 ngay trong trình duyệt. Đi theo các dãy mưa đá, nuôi một cây Collatz hình học và phóng to fractal Collatz liên tục.
Giả thuyết Collatz
Giả thuyết Collatz là một trong những câu đố chưa giải nổi tiếng nhất của toán học: quy tắc chẵn/lẻ đơn giản, số mưa đá, Erdős, Terence Tao và hai cách nhìn dữ liệu dưới dạng hình học và fractal.
Vòng tròn phép nhân
Nối mỗi số trên đường tròn với bội của nó. Vẽ bảng cửu chương, đường cardioid hoặc hình căng chỉ trên giấy, bằng phấn hay trên gỗ.
Xoắn ốc Ulam
Vẽ xoắn ốc Ulam ngay trong trình duyệt. Đánh dấu các số nguyên tố, đọc đa thức bậc hai trên từng đường chéo và mở chuỗi 40 số nguyên tố liên tiếp của Euler.
Xoắn ốc Ulam
Cách xoắn ốc năm 1963 của Stanisław Ulam xếp các số nguyên lên lưới vuông, vì sao số nguyên tố tụ lại trên các đường chéo bậc hai, và bốn mươi số nguyên tố của Euler nằm ở đâu khi xoắn ốc bắt đầu từ 41.
Sẵn sàng thử chưa?
Mở PictorX trong trình duyệt của bạn — không cài đặt, không cần thiết thẻ tín dụng để khởi động.
Thử dãy Fibonacci