Om Fibonacci-talrækken | Det gyldne snit og Binets formel

Q: Hvorfor nærmer forholdet sig det gyldne snit?

Hvis kvotienterne af på hinanden følgende led sætter sig på en grænse r, tvinger rekursionen r = 1 + 1/r, så r² − r − 1 = 0. Den positive løsning er φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Q: Hvad er Binets formel?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, med ψ = (1 − √5) / 2. Potensen af ψ skrumper, så Fₙ er det heltal, der ligger tættest på φⁿ / √5.

Q: Gør Lucas-tal det samme?

Ja. Lucas-tal starter ved 2 og 1 og bruger derefter den samme sum. Deres på hinanden følgende forhold nærmer sig også φ, fordi grænsen kommer fra rekursionen, ikke fra de to frø.

Q: Forlader tegningen min enhed?

Nej. Følgen, spiralen, diagrammet og frøene beregnes i din browser. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren.

To tal og en sum

Rækken starter som regel ved F₀ = 0 og F₁ = 1. For hvert n mindst 2 gælder Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Intet andet indgår: ingen ekstra faktor og ingen test for lige eller ulige. Fra de to frø er listen helt bestemt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

De første led

F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Hvert trin ser kun én og to pladser tilbage. Lucas-rækken bruger samme addition med andre frø, 2 og 1, og bliver 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … Appen kan tegne begge. Spiralens kvadrater har Fibonacci-siderne 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, så hvert nyt kvadrat matcher den lange side af det allerede tegnede rektangel.

Hvorfor forholdene nærmer sig ét tal

Skriv rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. De første kvotienter er 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. De svinger over og under en værdi nær 1,618, og svinget bliver mindre. Antag at kvotienterne sætter sig på en grænse r. Så er både Fₙ / Fₙ₋₁ og Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ for store n cirka r. Divider rekursionen med Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. I grænsen er det r = 1 + 1/r. Gang med r, og ligningen bliver r² = r + 1, eller r² − r − 1 = 0. Den kvadratiske formel giver r = (1 ± √5) / 2. Den positive rod er det gyldne snit φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Fibonacci-forhold der svinger mod det gyldne snit — De første forhold svinger omkring φ, og hvert sving er mindre end det forrige.

Ligningen skjult i reglen

Søg løsninger af formen Fₙ = λⁿ. Rekursionen bliver λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Divider med λⁿ⁻², og du får λ² = λ + 1, samme ligning som før. Rødderne er φ = (1 + √5) / 2 og ψ = (1 − √5) / 2. ψ er omkring −0,618, så |ψ| < 1, og potenserne skrumper mod 0. Enhver følge, der følger Fibonacci-reglen, er en blanding af disse to potenser. Det gyldne snit er ikke en ekstra kendsgerning klæbet på bagefter. Ligningen φ² = φ + 1 er rekursionen skrevet for en ren geometrisk følge.

Binets formel

Blandingen, der starter ved 0 og 1, er Binets formel, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Fordi |ψ| < 1, bliver den anden potens snart bitte, og Fₙ er næsten φⁿ / √5. Det manglende stykke er mindre end 1/2 for hvert n, så afrunding af φⁿ / √5 til nærmeste heltal giver det eksakte Fibonacci-tal. Appen lister det eksakte led, potensen af φ og den skrumpende fejl side om side.

En lineær regel, i modsætning til Collatz

Fibonacci-tal følger en lineær rekursion: det næste led er en fast kombination af de forrige, og det er ligegyldigt, om de er lige eller ulige. Collatz-følgen bruger en ikke-lineær paritetsregel, n/2 eller 3n+1, og ingen har bevist, at ethvert startpunkt når 1. Fibonacci-reglen er fuldstændig løst. Dens lukkede form, dens vækst og grænsen for det gyldne snit kommer alle fra én kvadratisk ligning. Skift de to frø, som Lucas-følgen gør, og grænsen er stadig φ, fordi grænsen bor i reglen.

Den gyldne vinkel

En fuld omgang divideret med φ² er omkring 137,5078°. Placer frø i den faste vinkel, og lad radius vokse som kvadratroden af indeks, så pakkes prikkerne i spiraler. De spiraler, man kan tælle, er på hinanden følgende Fibonacci-tal. Det er solsikkevisningen i appen.

Udforsk det i PictorX

Åbn Fibonacci-talrækken for at lade kvadraterne vokse til en spiral, plotte forholdene mod φ, tjekke Binets formel eller sprede frø i den gyldne vinkel. Skift til Lucas-tal, og forholdene nærmer sig stadig φ. Træk for at flytte, scroll for at zoome, gem derefter en PNG eller åbn lærredet i PictorX-editoren. Kombinér den med Collatz-formodningen eller multiplikationscirkler for flere billeder fra en kort regel.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er Fibonacci-talrækken?

Følgen defineret ved F₀ = 0, F₁ = 1 og Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Den begynder 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Hvorfor nærmer forholdet sig det gyldne snit?

Hvis kvotienterne af på hinanden følgende led sætter sig på en grænse r, tvinger rekursionen r = 1 + 1/r, så r² − r − 1 = 0. Den positive løsning er φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Hvad er Binets formel?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, med ψ = (1 − √5) / 2. Potensen af ψ skrumper, så Fₙ er det heltal, der ligger tættest på φⁿ / √5.

Gør Lucas-tal det samme?

Ja. Lucas-tal starter ved 2 og 1 og bruger derefter den samme sum. Deres på hinanden følgende forhold nærmer sig også φ, fordi grænsen kommer fra rekursionen, ikke fra de to frø.

Forlader tegningen min enhed?

Nej. Følgen, spiralen, diagrammet og frøene beregnes i din browser. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren.