À propos de la conjecture de Collatz | Le problème 3n+1

Les règles

Choisissez un entier positif n et appliquez deux règles encore et encore. Si le nombre est pair, divisez-le par 2. S’il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1. La conjecture affirme que toute valeur de départ finit par atteindre 1. À 1, on tombe dans une boucle infinie : 1 → 4 → 2 → 1.

Un exemple : partir de 6

6 est pair, donc 6/2 = 3. 3 est impair, donc 3×3+1 = 10. Puis 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Les valeurs montent et descendent avant de s’effondrer, d’où le nom de nombres grêlons.

Pourquoi c’est si difficile

Les ordinateurs ont vérifié tous les entiers bien au-delà de 2×10²¹, et chacun finit à 1. Une preuve rigoureuse manque toujours. Paul Erdős a dit un jour que les mathématiques ne sont tout simplement pas prêtes pour ce genre de problème. En 2019, Terence Tao a prouvé que la conjecture est vraie pour presque tous les nombres — une avancée majeure qui laisse toutefois le cas absolu ouvert. Une entreprise japonaise offre un prix de 120 millions de yens (environ 750 000 €) pour une solution définitive.

Méthode 1 : l’arbre géométrique

Au lieu de tracer n en fonction du nombre d’étapes, traitez la suite comme une navigation dans le plan. Chaque point a une position (x, y) et un cap θ. Un pas de longueur L donne x' = x + L cos θ et y' = y + L sin θ ; L raccourcit à mesure que les nombres grandissent, proportionnellement à n / (1 + n^1,3), si bien que les fortes montées s’enroulent en frondes. Le cap suivant dépend de la parité : les nombres pairs tournent d’un petit angle α, les impairs tournent dans l’autre sens de β. On choisit souvent α ≠ β — par exemple α = 0,15 et β = 0,28 — car une suite typique compte plus de pas pairs que d’impairs, et ce déséquilibre donne au corail sa courbure organique. Faites pousser de nombreuses suites depuis 1, ou remontez du tronc en 1 vers les feuilles.

Méthode 2 : la fractale de Collatz complexe

L’application de Collatz habituelle est discrète. Pour peindre une fractale à la Mandelbrot, il faut une fonction lisse sur tout le plan complexe. Un interrupteur trigonométrique s’en charge : f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) Sur un entier pair, cos² = 1 et sin² = 0, donc f se réduit à z/2. Sur un entier impair, les poids s’inversent et f se réduit à 3z+1. Le sinus et le cosinus sont aussi définis entre les entiers, donc chaque pixel z0 = x + yi peut être itéré. La couleur indique combien d’étapes il faut à |z| pour sortir d’un rayon R. La frontière infiniment détaillée entre fuite et capture, c’est la fractale.

Explorez-la dans PictorX

Ouvrez Conjecture de Collatz pour faire pousser des coraux de grêlons, suivre une seule suite ou zoomer dans la fractale continue depuis votre navigateur. Réglez les angles de rotation, choisissez un nombre de départ, changez la palette et enregistrez un PNG. Associez-la au Générateur de fractales ou à l’Attracteur de Lorenz pour encore plus de jeux mathématiques.

Questions fréquemment posées

Qui a formulé la conjecture de Collatz ?

Lothar Collatz a fait circuler le problème 3n+1 dans les années 1930. On l’appelle aussi conjecture d’Ulam, problème de Kakutani et problème des grêlons.

Sait-on que tout nombre atteint 1 ?

Tous les entiers vérifiés y parviennent, y compris des valeurs bien au-delà de 2×10²¹. C’est un indice solide, pas une preuve que tous les entiers y parviennent.

Qu’a démontré Terence Tao ?

En 2019, il a montré que presque toutes les valeurs de départ finissent par devenir plus petites que n’importe quelle fonction tendant vers l’infini, aussi lentement soit-elle. C’est proche de la conjecture, mais cela autorise encore des nombres exceptionnels.

Comment la fractale de Collatz est-elle construite ?

Une formule trigonométrique coïncide avec n/2 et 3n+1 sur les entiers et reste lisse partout ailleurs. L’itérer sur des points de départ complexes et colorer selon le temps de fuite produit la fractale.