Despre conjectura Collatz | Problema 3n+1

Regulile

Alege orice număr întreg pozitiv n și aplică din nou și din nou două reguli. Dacă numărul este par, împarte-l la 2. Dacă este impar, înmulțește-l cu 3 și adună 1. Conjectura spune că orice valoare de pornire ajunge în cele din urmă la 1. La 1 intri într-o buclă infinită: 1 → 4 → 2 → 1.

Un exemplu: pornim de la 6

6 este par, deci 6/2 = 3. 3 este impar, deci 3×3+1 = 10. Apoi 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Valorile urcă și coboară brusc înainte să se prăbușească, de aceea aceste șiruri se numesc și numere grindină.

De ce este atât de greu

Calculatoarele au verificat fiecare număr întreg mult peste 2×10²¹, iar fiecare se termină la 1. O demonstrație fără fisuri lipsește încă. Paul Erdős a spus odată că matematica pur și simplu nu este pregătită pentru astfel de probleme. În 2019, Terence Tao a demonstrat că conjectura este adevărată pentru aproape toate numerele — un progres major care lasă totuși cazul absolut deschis. O companie japoneză oferă un premiu de 120 de milioane de yeni (aproximativ 750.000 €) pentru o soluție definitivă.

Metoda 1: arborele geometric

În loc să reprezinți n în funcție de numărul de pași, tratează șirul ca pe o navigare în plan. Fiecare punct are o poziție (x, y) și o direcție θ. Un pas de lungime L dă x' = x + L cos θ și y' = y + L sin θ; L se scurtează pe măsură ce numerele cresc, proporțional cu n / (1 + n^1,3), astfel încât urcușurile mari se răsucesc în frunze. Direcția următoare depinde de paritate: numerele pare se rotesc cu un unghi mic α, iar cele impare în sens opus cu β. Adesea se alege α ≠ β — de exemplu α = 0,15 și β = 0,28 — deoarece un șir tipic are mai mulți pași pari decât impari, iar acest dezechilibru dă coralului curbura sa organică. Crește multe șiruri din 1 sau mergi înapoi de la trunchiul din 1 spre frunze.

Metoda 2: fractalul Collatz complex

Funcția Collatz obișnuită este discretă. Pentru a picta un fractal în stil Mandelbrot ai nevoie de o funcție netedă pe întregul plan complex. Un comutator trigonometric face asta: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) Pe un întreg par, cos² = 1 și sin² = 0, deci f devine z/2. Pe un întreg impar ponderile se inversează și f devine 3z+1. Sinusul și cosinusul sunt definite și între numerele întregi, deci fiecare pixel z0 = x + yi poate fi iterat. Culoarea arată câți pași îi trebuie lui |z| ca să iasă dintr-o rază R. Granița infinit de detaliată dintre evadare și captură este fractalul.

Explor-o în PictorX

Deschide Conjectura Collatz pentru a crește corali grindină, a urmări un singur șir sau a mări fractalul continuu în browser. Reglează unghiurile de rotire, alege un număr de pornire, schimbă paleta și salvează un PNG. Combin-o cu Generator fractal sau Atractor Lorenz pentru și mai multă joacă matematică.

Întrebări frecvente

Cine a formulat conjectura Collatz?

Lothar Collatz a făcut cunoscută problema 3n+1 în anii 1930. Mai este numită conjectura Ulam, problema Kakutani și problema grindinei.

Se știe că orice număr ajunge la 1?

Fiecare număr întreg verificat ajunge, inclusiv valori mult peste 2×10²¹. Este o dovadă puternică, nu o demonstrație că orice întreg ajunge.

Ce a demonstrat Terence Tao?

În 2019 a arătat că aproape toate valorile de pornire devin în cele din urmă mai mici decât orice funcție dată care tinde la infinit, oricât de încet. Este aproape de conjectură, dar încă permite numere excepționale.

Cum se construiește fractalul Collatz?

O formulă trigonometrică coincide cu n/2 și 3n+1 pe numerele întregi și rămâne netedă în rest. Iterând-o pe puncte de pornire complexe și colorând după timpul de evadare se obține fractalul.