कोलाट्ज़ अनुमान के बारे में | 3n+1 समस्या

नियम

कोई भी धनात्मक पूर्णांक n चुनें और दो नियम बार-बार लागू करें। संख्या सम हो तो उसे 2 से भाग दें। विषम हो तो 3 से गुणा करके 1 जोड़ें। अनुमान कहता है कि हर शुरुआती मान आख़िरकार 1 पर पहुँचता है। 1 पर आप एक अनंत लूप में पड़ जाते हैं: 1 → 4 → 2 → 1।

एक उदाहरण: 6 से शुरू करें

6 सम है, इसलिए 6/2 = 3। 3 विषम है, इसलिए 3×3+1 = 10। फिर 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1। मान गिरने से पहले ऊपर-नीचे उछलते हैं, इसीलिए इन अनुक्रमों को ओला संख्याएँ भी कहते हैं।

यह इतना कठिन क्यों है

कंप्यूटरों ने 2×10²¹ से बहुत आगे तक हर पूर्णांक जाँचा है, और हर एक 1 पर ख़त्म होता है। फिर भी कोई पुख़्ता प्रमाण नहीं है। पॉल एर्डोश ने एक बार कहा था कि गणित ऐसी समस्याओं के लिए अभी तैयार ही नहीं है। 2019 में टेरेंस ताओ ने सिद्ध किया कि यह अनुमान लगभग सभी संख्याओं के लिए सही है — एक बड़ी सफलता, जो फिर भी पूर्ण स्थिति को खुला छोड़ती है। एक जापानी कंपनी ने निर्णायक हल के लिए 12 करोड़ येन (लगभग €750,000) का इनाम रखा है।

विधि 1: ज्यामितीय पेड़

n को चरणों की संख्या के सापेक्ष प्लॉट करने के बजाय, अनुक्रम को समतल पर दिशा-निर्देशन की तरह देखें। हर बिंदु की एक स्थिति (x, y) और दिशा θ होती है। लंबाई L का एक कदम x' = x + L cos θ और y' = y + L sin θ देता है; संख्याएँ बढ़ने पर L, n / (1 + n^1.3) के अनुपात में छोटा होता जाता है, इसलिए ऊँची छलाँगें पत्तियों की तरह मुड़ जाती हैं। अगली दिशा सम-विषमता पर निर्भर करती है: सम संख्याएँ छोटे कोण α से मुड़ती हैं, विषम संख्याएँ उल्टी ओर β से। डिज़ाइनर अक्सर α ≠ β चुनते हैं — जैसे α = 0.15 और β = 0.28 — क्योंकि सामान्य अनुक्रम में विषम से ज़्यादा सम कदम होते हैं, और यही असंतुलन मूंगे को उसका प्राकृतिक घुमाव देता है। 1 से कई अनुक्रम उगाएँ, या 1 पर स्थित तने से पत्तियों की ओर उल्टा चलें।

विधि 2: सम्मिश्र कोलाट्ज़ फ्रैक्टल

सामान्य कोलाट्ज़ मैप असतत है। मैंडलब्रॉट-शैली का फ्रैक्टल बनाने के लिए पूरे सम्मिश्र समतल पर एक सुचारु फलन चाहिए। एक त्रिकोणमितीय स्विच यह करता है: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) सम पूर्णांक पर cos² = 1 और sin² = 0, इसलिए f घटकर z/2 हो जाता है। विषम पूर्णांक पर भार अदल-बदल जाते हैं और f घटकर 3z+1 हो जाता है। साइन और कोसाइन पूर्णांकों के बीच भी परिभाषित हैं, इसलिए हर पिक्सेल z0 = x + yi को दोहराया जा सकता है। रंग दर्शाता है कि |z| को त्रिज्या R से बाहर निकलने में कितने चरण लगते हैं। बच निकलने और फँसने के बीच की अनंत विस्तार वाली सीमा ही फ्रैक्टल है।

PictorX में इसे खोजें

ओला मूंगे उगाने, एक अनुक्रम पर चलने या अपने ब्राउज़र में सतत फ्रैक्टल को ज़ूम करने के लिए कोलाट्ज़ अनुमान खोलें। मोड़ के कोण बदलें, शुरुआती संख्या चुनें, पैलेट बदलें और PNG सेव करें। और गणितीय खेल के लिए इसे फ़्रैक्टल जनरेटर या लोरेंज अट्रैक्टर के साथ आज़माएँ।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

कोलाट्ज़ अनुमान किसने प्रस्तुत किया?

लोथार कोलाट्ज़ ने 1930 के दशक में 3n+1 समस्या को प्रचलित किया। इसे उलम अनुमान, काकुतानी समस्या और ओला समस्या भी कहते हैं।

क्या हर संख्या का 1 तक पहुँचना ज्ञात है?

जाँचा गया हर पूर्णांक पहुँचता है, जिनमें 2×10²¹ से बहुत बड़े मान भी हैं। यह ठोस साक्ष्य है, यह प्रमाण नहीं कि हर पूर्णांक पहुँचता है।

टेरेंस ताओ ने क्या सिद्ध किया?

2019 में उन्होंने दिखाया कि लगभग सभी शुरुआती मान आख़िरकार अनंत की ओर जाने वाले किसी भी दिए गए फलन से छोटे हो जाते हैं, चाहे वह कितना भी धीमा हो। यह अनुमान के क़रीब है, पर अपवाद संख्याओं की गुंजाइश अब भी रहती है।

कोलाट्ज़ फ्रैक्टल कैसे बनता है?

एक त्रिकोणमितीय सूत्र पूर्णांकों पर n/2 और 3n+1 से मेल खाता है और बाकी हर जगह सुचारु रहता है। इसे सम्मिश्र शुरुआती बिंदुओं पर दोहराने और पलायन समय के अनुसार रंगने से फ्रैक्टल बनता है।