عن حدسية كولاتز | مسألة 3n+1

القواعد

اختر أي عدد صحيح موجب n وطبّق قاعدتين مرارًا وتكرارًا. إذا كان العدد زوجيًا فاقسمه على 2، وإذا كان فرديًا فاضربه في 3 وأضف 1. تقول الحدسية إن كل قيمة ابتدائية تصل في النهاية إلى 1، وعند 1 تدخل في حلقة لا نهائية: 1 → 4 → 2 → 1.

مثال: ابدأ من 6

6 زوجي، إذن 6/2 = 3. و3 فردي، إذن 3×3+1 = 10. ثم 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. تقفز القيم صعودًا وهبوطًا قبل أن تنهار، ولهذا تُسمّى هذه المتتاليات أيضًا أعداد البَرَد.

لماذا هي صعبة إلى هذا الحد

فحصت الحواسيب كل عدد صحيح حتى ما بعد 2×10²¹ بكثير، وكلها تنتهي عند 1، لكن البرهان المحكم ما زال مفقودًا. قال بول إردوش ذات مرة إن الرياضيات ليست مستعدة بعد لهذا النوع من المسائل. في عام 2019 أثبت تيرينس تاو أن الحدسية تصح لجميع الأعداد تقريبًا — وهو اختراق كبير يترك الحالة المطلقة مفتوحة. وقد رصدت شركة يابانية جائزة قدرها 120 مليون ين (نحو 750,000 يورو) لحلّ نهائي.

الطريقة 1: الشجرة الهندسية

بدلًا من رسم n مقابل عدد الخطوات، تعامل مع المتتالية كأنها ملاحة في المستوى. لكل نقطة موضع (x, y) واتجاه θ. خطوة بطول L تعطي x' = x + L cos θ وy' = y + L sin θ؛ ويقصر L كلما كبرت الأعداد، بما يتناسب مع n / (1 + n^1.3)، فتلتف القفزات العالية على هيئة أوراق. يعتمد الاتجاه التالي على الزوجية: الأعداد الزوجية تنعطف بزاوية صغيرة α، والفردية تنعطف في الاتجاه المعاكس بمقدار β. كثيرًا ما يختار المصممون α ≠ β — مثل α = 0.15 وβ = 0.28 — لأن المتتالية النموذجية فيها خطوات زوجية أكثر من الفردية، وهذا الاختلال يمنح المرجان التفافه العضوي. نمِّ متتاليات كثيرة من 1، أو امشِ إلى الوراء من الجذع عند 1 نحو الأوراق.

الطريقة 2: كسيرية كولاتز المركّبة

دالة كولاتز المعتادة متقطعة. لرسم كسيرية على طراز ماندلبروت تحتاج إلى دالة ملساء على المستوى المركّب كله. ويحقق ذلك مفتاح مثلثي: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) عند عدد صحيح زوجي يكون cos² = 1 وsin² = 0، فتصبح f هي z/2. وعند عدد صحيح فردي تتبادل الأوزان فتصبح f هي 3z+1. والجيب وجيب التمام معرّفان أيضًا بين الأعداد الصحيحة، لذا يمكن تكرار كل بكسل z0 = x + yi. يسجّل اللون عدد الخطوات اللازمة كي يفلت |z| من نصف قطر R. والحدّ اللانهائي التفاصيل بين الإفلات والأسر هو الكسيرية.

استكشفها في PictorX

افتح حدسية كولاتز لتنمية مرجان البَرَد، أو تتبّع متتالية واحدة، أو تكبير الكسيرية المتصلة في متصفحك. اضبط زوايا الانعطاف، واختر عددًا ابتدائيًا، وغيّر لوحة الألوان، واحفظ PNG. واجمعها مع مولّد الكسيريات أو جاذب لورنز لمزيد من اللعب الرياضي.

الأسئلة المتداولة

من صاغ حدسية كولاتز؟

نشر لوثار كولاتز مسألة 3n+1 في ثلاثينيات القرن العشرين. وتُسمّى أيضًا حدسية أولام ومسألة كاكوتاني ومسألة البَرَد.

هل من المعروف أن كل عدد يصل إلى 1؟

كل عدد صحيح فُحص يصل إليه، بما في ذلك قيم تتجاوز 2×10²¹ بكثير. هذا دليل قوي، لكنه ليس برهانًا على أن كل عدد صحيح يصل.

ماذا أثبت تيرينس تاو؟

في عام 2019 أظهر أن جميع القيم الابتدائية تقريبًا تصبح في النهاية أصغر من أي دالة معطاة تتجه إلى اللانهاية، مهما كان تزايدها بطيئًا. هذا قريب من الحدسية، لكنه لا يزال يسمح بوجود أعداد استثنائية.

كيف تُبنى كسيرية كولاتز؟

تتطابق صيغة مثلثية مع n/2 و3n+1 على الأعداد الصحيحة وتبقى ملساء في كل مكان آخر. وتكرارها على نقاط بداية مركّبة مع التلوين بحسب زمن الإفلات ينتج الكسيرية.