Tentang Konjektur Collatz | Masalah 3n+1

Aturannya

Pilih bilangan bulat positif n mana saja dan terapkan dua aturan berulang kali. Jika bilangannya genap, bagi dengan 2. Jika ganjil, kalikan 3 lalu tambah 1. Konjektur ini menyatakan bahwa setiap nilai awal akhirnya mencapai 1. Di 1 Anda masuk ke perulangan tanpa akhir: 1 → 4 → 2 → 1.

Contoh: mulai dari 6

6 genap, jadi 6/2 = 3. 3 ganjil, jadi 3×3+1 = 10. Lalu 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Nilainya melonjak naik turun sebelum runtuh, itulah sebabnya barisan ini juga disebut bilangan hujan es.

Mengapa begitu sulit

Komputer telah memeriksa setiap bilangan bulat hingga jauh melampaui 2×10²¹, dan semuanya berakhir di 1. Bukti yang kokoh masih belum ada. Paul Erdős pernah berkata bahwa matematika memang belum siap untuk masalah semacam ini. Pada 2019 Terence Tao membuktikan bahwa konjektur ini berlaku untuk hampir semua bilangan — terobosan besar yang tetap membiarkan kasus mutlaknya terbuka. Sebuah perusahaan Jepang menawarkan hadiah 120 juta yen (sekitar €750.000) untuk solusi definitif.

Metode 1: pohon geometris

Alih-alih memplot n terhadap jumlah langkah, perlakukan barisan sebagai navigasi di bidang. Setiap titik memiliki posisi (x, y) dan arah θ. Satu langkah dengan panjang L menghasilkan x' = x + L cos θ dan y' = y + L sin θ; L makin pendek saat bilangannya membesar, sebanding dengan n / (1 + n^1,3), sehingga lonjakan tinggi menggulung menjadi daun. Arah berikutnya bergantung pada paritas: bilangan genap berbelok dengan sudut kecil α, bilangan ganjil berbelok ke arah lain sebesar β. Perancang sering memilih α ≠ β — misalnya α = 0,15 dan β = 0,28 — karena barisan biasa memiliki lebih banyak langkah genap daripada ganjil, dan ketidakseimbangan ini memberi karang lengkungan organiknya. Tumbuhkan banyak barisan dari 1, atau berjalan mundur dari batang di 1 menuju daun.

Metode 2: fraktal Collatz kompleks

Peta Collatz biasa bersifat diskret. Untuk melukis fraktal bergaya Mandelbrot, Anda memerlukan fungsi mulus di seluruh bidang kompleks. Sakelar trigonometri melakukannya: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) Pada bilangan bulat genap, cos² = 1 dan sin² = 0, sehingga f menjadi z/2. Pada bilangan bulat ganjil bobotnya bertukar dan f menjadi 3z+1. Sinus dan kosinus juga terdefinisi di antara bilangan bulat, sehingga setiap piksel z0 = x + yi dapat diiterasi. Warna mencatat berapa langkah yang dibutuhkan |z| untuk keluar dari radius R. Batas yang detailnya tak berhingga antara lolos dan tertangkap itulah fraktalnya.

Jelajahi di PictorX

Buka Konjektur Collatz untuk menumbuhkan karang hujan es, menelusuri satu barisan, atau memperbesar fraktal kontinu di browser Anda. Atur sudut belokan, pilih bilangan awal, ganti palet, lalu simpan PNG. Padukan dengan Generator fraktal atau Atraktor Lorenz untuk permainan matematika lainnya.

Frequently asked questions

Siapa yang mengemukakan konjektur Collatz?

Lothar Collatz menyebarkan masalah 3n+1 pada 1930-an. Masalah ini juga disebut konjektur Ulam, masalah Kakutani, dan masalah hujan es.

Apakah setiap bilangan diketahui mencapai 1?

Setiap bilangan bulat yang telah diperiksa mencapainya, termasuk nilai jauh di atas 2×10²¹. Itu bukti pendukung yang kuat, bukan bukti bahwa semua bilangan bulat demikian.

Apa yang dibuktikan Terence Tao?

Pada 2019 ia menunjukkan bahwa hampir semua nilai awal pada akhirnya menjadi lebih kecil daripada fungsi apa pun yang menuju tak hingga, seberapa pun lambatnya. Itu mendekati konjektur, tetapi masih memungkinkan adanya bilangan pengecualian.

Bagaimana fraktal Collatz dibuat?

Rumus trigonometri sama dengan n/2 dan 3n+1 pada bilangan bulat dan tetap mulus di tempat lain. Mengiterasinya pada titik awal kompleks dan mewarnai menurut waktu lolos menghasilkan fraktal.