コラッツ予想について | 3n+1 問題

ルール

任意の正の整数 n を選び、2 つのルールを何度も適用します。偶数なら 2 で割り、奇数なら 3 を掛けて 1 を足します。予想によれば、どんな初期値もいずれ 1 に到達します。1 に着くと無限ループ 1 → 4 → 2 → 1 に入ります。

例:6 から始める

6 は偶数なので 6/2 = 3。3 は奇数なので 3×3+1 = 10。続いて 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1。値は急上昇と急降下を繰り返してから崩れ落ちるため、これらの数列はあられ数とも呼ばれます。

なぜこれほど難しいのか

コンピューターは 2×10²¹ をはるかに超えるまですべての整数を調べ、どれも 1 で終わりました。それでも厳密な証明はまだありません。ポール・エルデシュはかつて、数学はこの種の問題に対してまだ準備ができていないと語りました。2019 年、テレンス・タオはこの予想がほとんどすべての数で成り立つことを証明しました。大きな突破口ですが、完全な場合は依然として未解決です。ある日本企業は決定的な解決に 1 億 2,000 万円(約 75 万ユーロ)の賞金を懸けています。

方法 1:幾何学的な木

n をステップ数に対してプロットする代わりに、数列を平面上のナビゲーションとして扱います。各点は位置 (x, y) と向き θ を持ちます。長さ L の 1 歩で x' = x + L cos θ、y' = y + L sin θ になります。数が大きくなるほど L は n / (1 + n^1.3) に比例して短くなり、高く跳ね上がる部分は葉のように丸まります。次の向きは偶奇で決まり、偶数は小さな角度 α、奇数は逆向きに β だけ曲がります。典型的な数列は奇数より偶数のステップが多いため、α ≠ β(例:α = 0.15、β = 0.28)を選ぶことが多く、この不均衡がサンゴに有機的な曲がりを与えます。1 から多くの数列を育てるか、1 の幹から葉に向かって逆にたどりましょう。

方法 2:複素コラッツ・フラクタル

通常のコラッツ写像は離散的です。マンデルブロ風のフラクタルを描くには、複素平面全体で滑らかな関数が必要です。三角関数のスイッチがそれを実現します。 f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) 偶数では cos² = 1、sin² = 0 なので f は z/2 になります。奇数では重みが入れ替わり、f は 3z+1 になります。正弦と余弦は整数の間でも定義されているため、すべてのピクセル z0 = x + yi を反復できます。色は |z| が半径 R から脱出するまでのステップ数を表します。脱出と捕獲の間にある無限に精細な境界がフラクタルです。