콜라츠 추측에 대하여 | 3n+1 문제

규칙

임의의 양의 정수 n을 골라 두 규칙을 계속 반복해서 적용합니다. 짝수이면 2로 나누고, 홀수이면 3을 곱한 뒤 1을 더합니다. 이 추측은 모든 시작값이 결국 1에 도달한다고 말합니다. 1에 이르면 무한 루프 1 → 4 → 2 → 1에 빠집니다.

예시: 6에서 시작하기

6은 짝수이므로 6/2 = 3. 3은 홀수이므로 3×3+1 = 10. 이어서 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. 값이 무너지기 전에 위아래로 치솟기 때문에 이 수열을 우박수라고도 부릅니다.

왜 그렇게 어려운가

컴퓨터는 2×10²¹을 훨씬 넘는 모든 정수를 확인했고, 모두 1에서 끝났습니다. 하지만 빈틈없는 증명은 아직 없습니다. 폴 에르되시는 수학이 이런 종류의 문제에 아직 준비되지 않았다고 말한 적이 있습니다. 2019년 테렌스 타오는 이 추측이 거의 모든 수에 대해 성립함을 증명했습니다. 큰 돌파구였지만 절대적인 경우는 여전히 열려 있습니다. 한 일본 기업은 결정적인 해법에 1억 2천만 엔(약 75만 유로)의 상금을 걸었습니다.

방법 1: 기하학적 나무

n을 단계 수에 대해 그리는 대신, 수열을 평면 위의 항해로 다룹니다. 각 점은 위치 (x, y)와 방향 θ를 가집니다. 길이 L의 한 걸음은 x' = x + L cos θ, y' = y + L sin θ가 됩니다. 수가 커질수록 L은 n / (1 + n^1.3)에 비례해 짧아지므로, 높이 치솟는 구간은 잎처럼 말려 들어갑니다. 다음 방향은 홀짝에 따라 정해집니다. 짝수는 작은 각도 α만큼, 홀수는 반대쪽으로 β만큼 회전합니다. 전형적인 수열은 홀수 단계보다 짝수 단계가 많기 때문에 흔히 α ≠ β(예: α = 0.15, β = 0.28)를 선택하며, 이 불균형이 산호에 유기적인 곡선을 줍니다. 1에서 여러 수열을 키우거나 1의 줄기에서 잎 쪽으로 거꾸로 걸어 보세요.

방법 2: 복소 콜라츠 프랙털

일반적인 콜라츠 사상은 이산적입니다. 망델브로 스타일의 프랙털을 그리려면 복소평면 전체에서 매끄러운 함수가 필요합니다. 삼각함수 스위치가 그 역할을 합니다. f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) 짝수 정수에서는 cos² = 1, sin² = 0이므로 f는 z/2가 됩니다. 홀수 정수에서는 가중치가 바뀌어 f는 3z+1이 됩니다. 사인과 코사인은 정수 사이에서도 정의되므로 모든 픽셀 z0 = x + yi를 반복할 수 있습니다. 색상은 |z|가 반지름 R을 벗어나는 데 걸리는 단계 수를 나타냅니다. 탈출과 포획 사이의 무한히 정교한 경계가 바로 프랙털입니다.

PictorX에서 탐험하기

콜라츠 추측을 열어 브라우저에서 우박 산호를 키우거나, 하나의 수열을 따라가거나, 연속 프랙털을 확대해 보세요. 회전 각도를 조정하고, 시작 숫자를 고르고, 팔레트를 바꾼 뒤 PNG로 저장하세요. 프랙탈 생성기나 로렌츠 어트랙터와 함께 쓰면 더 많은 수학 놀이를 즐길 수 있습니다.