Sobre la conjetura de Collatz | El problema 3n+1

Las reglas

Elige cualquier entero positivo n y aplica dos reglas una y otra vez. Si el número es par, divídelo entre 2. Si es impar, multiplícalo por 3 y súmale 1. La conjetura dice que todo valor inicial acaba llegando a 1. En 1 caes en un bucle infinito: 1 → 4 → 2 → 1.

Un ejemplo: empezar en 6

6 es par, así que 6/2 = 3. 3 es impar, así que 3×3+1 = 10. Después 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Los valores suben y bajan bruscamente antes de desplomarse, por eso estas secuencias también se llaman números granizo.

Por qué es tan difícil

Los ordenadores han comprobado todos los enteros hasta mucho más allá de 2×10²¹, y todos terminan en 1. Aún falta una demostración irrefutable. Paul Erdős dijo una vez que las matemáticas simplemente no están preparadas para este tipo de problema. En 2019, Terence Tao demostró que la conjetura se cumple para casi todos los números — un gran avance que, aun así, deja abierto el caso absoluto. Una empresa japonesa ofrece un premio de 120 millones de yenes (unos 750 000 €) por una solución definitiva.

Método 1: el árbol geométrico

En lugar de representar n frente al número de pasos, trata la secuencia como una navegación en el plano. Cada punto tiene una posición (x, y) y un rumbo θ. Un paso de longitud L da x' = x + L cos θ e y' = y + L sin θ; L se acorta a medida que crecen los números, en proporción a n / (1 + n^1,3), de modo que las subidas altas se enroscan en frondas. El siguiente rumbo depende de la paridad: los números pares giran un pequeño ángulo α y los impares giran hacia el otro lado un ángulo β. Se suele elegir α ≠ β — por ejemplo α = 0,15 y β = 0,28 — porque una secuencia típica tiene más pasos pares que impares, y ese desequilibrio da al coral su curvatura orgánica. Haz crecer muchas secuencias desde 1 o recorre hacia atrás desde el tronco en 1 hasta las hojas.

Método 2: el fractal de Collatz complejo

La aplicación de Collatz habitual es discreta. Para pintar un fractal al estilo Mandelbrot hace falta una función suave en todo el plano complejo. Un interruptor trigonométrico lo consigue: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) En un entero par, cos² = 1 y sin² = 0, así que f se reduce a z/2. En un entero impar los pesos se intercambian y f se reduce a 3z+1. El seno y el coseno también están definidos entre los enteros, por lo que cada píxel z0 = x + yi puede iterarse. El color registra cuántos pasos tarda |z| en escapar de un radio R. La frontera infinitamente detallada entre escape y captura es el fractal.

Explórala en PictorX

Abre Conjetura de Collatz para hacer crecer corales de granizo, recorrer una sola secuencia o hacer zoom en el fractal continuo desde tu navegador. Ajusta los ángulos de giro, elige un número inicial, cambia la paleta y guarda un PNG. Combínala con Generador de fractales o Atractor de Lorenz para seguir jugando con las matemáticas.

Preguntas frecuentes

¿Quién formuló la conjetura de Collatz?

Lothar Collatz difundió el problema 3n+1 en la década de 1930. También se llama conjetura de Ulam, problema de Kakutani y problema del granizo.

¿Se sabe que todo número llega a 1?

Todos los enteros comprobados lo hacen, incluidos valores muy por encima de 2×10²¹. Es una prueba sólida, pero no una demostración de que todos los enteros lo hagan.

¿Qué demostró Terence Tao?

En 2019 demostró que casi todos los valores iniciales acaban siendo menores que cualquier función dada que tienda a infinito, por lenta que sea. Eso se acerca a la conjetura, pero aún permite números excepcionales.

¿Cómo se construye el fractal de Collatz?

Una fórmula trigonométrica coincide con n/2 y 3n+1 en los enteros y es suave en todo lo demás. Al iterarla sobre puntos iniciales complejos y colorear según el tiempo de escape se obtiene el fractal.