Om Collatz-formodningen | 3n+1-problemet

Reglerne

Vælg et vilkårligt positivt heltal n, og anvend to regler igen og igen. Er tallet lige, deler du det med 2. Er det ulige, ganger du det med 3 og lægger 1 til. Formodningen siger, at enhver startværdi til sidst når 1. Ved 1 havner du i en uendelig løkke: 1 → 4 → 2 → 1.

Et eksempel: start ved 6

6 er lige, så 6/2 = 3. 3 er ulige, så 3×3+1 = 10. Derefter 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Værdierne skyder op og ned, før de falder sammen, og derfor kaldes følgerne også haglkornstal.

Hvorfor det er så svært

Computere har kontrolleret hvert heltal langt over 2×10²¹, og hvert eneste ender ved 1. Et vandtæt bevis mangler stadig. Paul Erdős sagde engang, at matematikken simpelthen ikke er klar til den slags problemer. I 2019 beviste Terence Tao, at formodningen holder for næsten alle tal — et stort gennembrud, der dog stadig lader det absolutte tilfælde stå åbent. Et japansk firma har udlovet 120 millioner yen (ca. 750.000 €) for en endelig løsning.

Metode 1: det geometriske træ

I stedet for at plotte n mod antal trin behandler du følgen som navigation i planet. Hvert punkt har en position (x, y) og en retning θ. Et trin med længde L giver x' = x + L cos θ og y' = y + L sin θ; L bliver kortere, når tallene vokser, i forhold til n / (1 + n^1,3), så høje udsving krøller sig sammen til blade. Den næste retning afhænger af pariteten: lige tal drejer en lille vinkel α, ulige tal drejer den anden vej med β. Man vælger ofte α ≠ β — for eksempel α = 0,15 og β = 0,28 — fordi en typisk følge har flere lige end ulige trin, og den ubalance giver koralen dens organiske krumning. Lad mange følger vokse fra 1, eller gå baglæns fra stammen ved 1 mod bladene.

Metode 2: den komplekse Collatz-fraktal

Den sædvanlige Collatz-afbildning er diskret. For at male en fraktal i Mandelbrot-stil skal du bruge en glat funktion på hele den komplekse plan. En trigonometrisk kontakt klarer det: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) På et lige heltal er cos² = 1 og sin² = 0, så f bliver til z/2. På et ulige heltal bytter vægtene plads, og f bliver til 3z+1. Sinus og cosinus er også defineret mellem heltallene, så hver pixel z0 = x + yi kan itereres. Farven viser, hvor mange trin |z| skal bruge for at slippe ud af en radius R. Den uendeligt detaljerede grænse mellem flugt og fangenskab er fraktalen.

Udforsk den i PictorX

Åbn Collatz-formodningen for at dyrke haglkornskoraller, følge en enkelt følge eller zoome ind i den kontinuerlige fraktal i din browser. Justér drejevinklerne, vælg et starttal, skift palet, og gem en PNG. Kombinér den med Fraktalgenerator eller Lorenz-attraktor for mere matematisk leg.

Ofte stillede spørgsmål

Hvem fremsatte Collatz-formodningen?

Lothar Collatz bragte 3n+1-problemet i omløb i 1930’erne. Det kaldes også Ulam-formodningen, Kakutani-problemet og haglkornsproblemet.

Ved man, at alle tal når 1?

Alle heltal, der er kontrolleret, gør det, også værdier langt over 2×10²¹. Det er stærke indicier, ikke et bevis for, at alle heltal gør det.

Hvad beviste Terence Tao?

I 2019 viste han, at næsten alle startværdier til sidst bliver mindre end enhver given funktion, der går mod uendelig, uanset hvor langsomt. Det er tæt på formodningen, men tillader stadig undtagelsestal.

Hvordan opbygges Collatz-fraktalen?

En trigonometrisk formel stemmer overens med n/2 og 3n+1 på heltallene og er glat alle andre steder. Itererer man den på komplekse startpunkter og farvelægger efter flugttid, opstår fraktalen.