Over het vermoeden van Collatz | Het 3n+1-probleem

De regels

Kies een willekeurig positief geheel getal n en pas steeds opnieuw twee regels toe. Is het getal even, deel het dan door 2. Is het oneven, vermenigvuldig het dan met 3 en tel er 1 bij op. Het vermoeden zegt dat elke startwaarde uiteindelijk 1 bereikt. Bij 1 kom je in een oneindige lus: 1 → 4 → 2 → 1.

Een voorbeeld: begin bij 6

6 is even, dus 6/2 = 3. 3 is oneven, dus 3×3+1 = 10. Daarna 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. De waarden schieten op en neer voordat ze ineenstorten; daarom heten deze reeksen ook hagelsteengetallen.

Waarom het zo moeilijk is

Computers hebben elk geheel getal tot ver voorbij 2×10²¹ gecontroleerd, en elk eindigt bij 1. Een sluitend bewijs ontbreekt nog. Paul Erdős zei ooit dat de wiskunde simpelweg nog niet klaar is voor dit soort problemen. In 2019 bewees Terence Tao dat het vermoeden voor bijna alle getallen geldt — een grote doorbraak die het absolute geval toch openlaat. Een Japans bedrijf looft 120 miljoen yen (ongeveer € 750.000) uit voor een definitieve oplossing.

Methode 1: de geometrische boom

In plaats van n uit te zetten tegen het aantal stappen, behandel je de reeks als navigatie in het vlak. Elk punt heeft een positie (x, y) en een richting θ. Een stap met lengte L geeft x' = x + L cos θ en y' = y + L sin θ; L wordt korter naarmate de getallen groeien, evenredig met n / (1 + n^1,3), zodat hoge uitschieters zich tot varenbladeren oprollen. De volgende richting hangt af van de pariteit: even getallen draaien een kleine hoek α, oneven getallen draaien de andere kant op met β. Vaak kiest men α ≠ β — bijvoorbeeld α = 0,15 en β = 0,28 — omdat een typische reeks meer even dan oneven stappen heeft, en die onbalans geeft het koraal zijn organische krul. Laat veel reeksen vanuit 1 groeien, of loop terug van de stam bij 1 naar de bladeren.

Methode 2: de complexe Collatz-fractal

De gewone Collatz-afbeelding is discreet. Voor een fractal in Mandelbrot-stijl heb je een gladde functie op het hele complexe vlak nodig. Een trigonometrische schakelaar doet dat: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) Op een even geheel getal is cos² = 1 en sin² = 0, dus f wordt z/2. Op een oneven geheel getal wisselen de gewichten en wordt f 3z+1. Sinus en cosinus zijn ook tussen de gehele getallen gedefinieerd, dus elke pixel z0 = x + yi kan worden geïtereerd. De kleur legt vast hoeveel stappen |z| nodig heeft om buiten een straal R te komen. De oneindig gedetailleerde grens tussen ontsnappen en gevangen blijven is de fractal.

Verken het in PictorX

Open Vermoeden van Collatz om hagelsteenkoralen te laten groeien, één reeks te volgen of in je browser in de continue fractal te zoomen. Stel de draaihoeken in, kies een startgetal, wijzig het palet en sla een PNG op. Combineer het met Fractal generator of Lorenz-attractor voor nog meer wiskundig spel.

Veelgestelde vragen

Wie formuleerde het vermoeden van Collatz?

Lothar Collatz bracht het 3n+1-probleem in de jaren dertig in omloop. Het heet ook het vermoeden van Ulam, het Kakutani-probleem en het hagelsteenprobleem.

Is van elk getal bekend dat het 1 bereikt?

Elk gecontroleerd geheel getal doet dat, ook waarden ver boven 2×10²¹. Dat is sterk bewijsmateriaal, geen bewijs dat elk geheel getal het doet.

Wat heeft Terence Tao bewezen?

In 2019 liet hij zien dat bijna alle startwaarden uiteindelijk kleiner worden dan elke gegeven functie die naar oneindig gaat, hoe langzaam ook. Dat komt dicht bij het vermoeden, maar laat nog uitzonderingsgetallen toe.

Hoe wordt de Collatz-fractal opgebouwd?

Een trigonometrische formule komt op de gehele getallen overeen met n/2 en 3n+1 en blijft overal elders glad. Door hem te itereren op complexe startpunten en te kleuren op ontsnappingstijd ontstaat de fractal.