Om Collatz-förmodan | 3n+1-problemet

Reglerna

Välj ett godtyckligt positivt heltal n och tillämpa två regler om och om igen. Är talet jämnt delar du det med 2. Är det udda multiplicerar du det med 3 och lägger till 1. Förmodan säger att varje startvärde till slut når 1. Vid 1 hamnar du i en oändlig slinga: 1 → 4 → 2 → 1.

Ett exempel: börja på 6

6 är jämnt, så 6/2 = 3. 3 är udda, så 3×3+1 = 10. Sedan 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Värdena skjuter upp och ner innan de rasar, och därför kallas följderna även hageltal.

Varför det är så svårt

Datorer har kontrollerat varje heltal långt över 2×10²¹, och vart och ett slutar på 1. Ett vattentätt bevis saknas fortfarande. Paul Erdős sa en gång att matematiken helt enkelt inte är redo för den här sortens problem. År 2019 bevisade Terence Tao att förmodan gäller för nästan alla tal — ett stort genombrott som ändå lämnar det absoluta fallet öppet. Ett japanskt företag har utlovat 120 miljoner yen (cirka 750 000 €) för en slutgiltig lösning.

Metod 1: det geometriska trädet

I stället för att plotta n mot antal steg behandlar du följden som navigering i planet. Varje punkt har en position (x, y) och en riktning θ. Ett steg med längd L ger x' = x + L cos θ och y' = y + L sin θ; L blir kortare när talen växer, i proportion till n / (1 + n^1,3), så att höga toppar rullar ihop sig till blad. Nästa riktning beror på pariteten: jämna tal vrider en liten vinkel α, udda tal vrider åt andra hållet med β. Man väljer ofta α ≠ β — till exempel α = 0,15 och β = 0,28 — eftersom en typisk följd har fler jämna än udda steg, och obalansen ger korallen dess organiska krökning. Låt många följder växa från 1, eller gå baklänges från stammen vid 1 mot löven.

Metod 2: den komplexa Collatz-fraktalen

Den vanliga Collatz-avbildningen är diskret. För att måla en fraktal i Mandelbrot-stil behöver du en jämn funktion på hela det komplexa talplanet. En trigonometrisk omkopplare ordnar det: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) På ett jämnt heltal är cos² = 1 och sin² = 0, så f blir z/2. På ett udda heltal byter vikterna plats och f blir 3z+1. Sinus och cosinus är definierade även mellan heltalen, så varje pixel z0 = x + yi kan itereras. Färgen anger hur många steg |z| behöver för att lämna en radie R. Den oändligt detaljerade gränsen mellan flykt och fångst är fraktalen.

Utforska den i PictorX

Öppna Collatz-förmodan för att odla hagelkoraller, följa en enskild följd eller zooma in i den kontinuerliga fraktalen i webbläsaren. Justera vridvinklarna, välj ett starttal, byt palett och spara en PNG. Kombinera den med Fraktal generator eller Lorenz-attraktor för mer matematisk lek.

Ofta ställda frågor

Vem formulerade Collatz-förmodan?

Lothar Collatz spred 3n+1-problemet på 1930-talet. Det kallas även Ulams förmodan, Kakutanis problem och hagelproblemet.

Vet man att varje tal når 1?

Varje heltal som har kontrollerats gör det, även värden långt över 2×10²¹. Det är starka belägg, inte ett bevis för att varje heltal gör det.

Vad bevisade Terence Tao?

År 2019 visade han att nästan alla startvärden till slut blir mindre än varje given funktion som går mot oändligheten, hur långsamt den än växer. Det ligger nära förmodan men tillåter fortfarande undantagstal.

Hur byggs Collatz-fraktalen upp?

En trigonometrisk formel stämmer med n/2 och 3n+1 på heltalen och är jämn överallt annars. Itererar man den på komplexa startpunkter och färglägger efter flykttid uppstår fraktalen.