Collatz Sanısı Hakkında | 3n+1 Problemi

Kurallar

Herhangi bir pozitif tam sayı n seçin ve iki kuralı tekrar tekrar uygulayın. Sayı çiftse 2’ye bölün. Sayı tekse 3 ile çarpıp 1 ekleyin. Sanıya göre her başlangıç değeri sonunda 1’e ulaşır. 1’de sonsuz bir döngüye girersiniz: 1 → 4 → 2 → 1.

Bir örnek: 6’dan başlayın

6 çifttir, yani 6/2 = 3. 3 tektir, yani 3×3+1 = 10. Ardından 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 gelir. Değerler çökmeden önce hızla inip çıkar; bu yüzden bu dizilere dolu sayıları da denir.

Neden bu kadar zor

Bilgisayarlar 2×10²¹’in çok ötesine kadar her tam sayıyı kontrol etti ve hepsi 1’de bitiyor. Yine de sağlam bir kanıt hâlâ yok. Paul Erdős bir keresinde matematiğin bu tür problemlere henüz hazır olmadığını söylemişti. 2019’da Terence Tao sanının neredeyse tüm sayılar için geçerli olduğunu kanıtladı — mutlak durumu yine de açık bırakan büyük bir atılım. Bir Japon şirketi kesin bir çözüm için 120 milyon yen (yaklaşık 750.000 €) ödül koydu.

Yöntem 1: geometrik ağaç

n’yi adım sayısına göre çizmek yerine diziyi düzlemde bir yön bulma olarak ele alın. Her noktanın bir konumu (x, y) ve bir yönü θ vardır. L uzunluğunda bir adım x' = x + L cos θ ve y' = y + L sin θ verir; sayılar büyüdükçe L, n / (1 + n^1,3) ile orantılı olarak kısalır, böylece yüksek tırmanışlar yapraklar gibi kıvrılır. Sonraki yön pariteye bağlıdır: çift sayılar küçük bir α açısıyla, tek sayılar ters yöne β kadar döner. Tasarımcılar genellikle α ≠ β seçer — örneğin α = 0,15 ve β = 0,28 — çünkü tipik bir dizide çift adımlar tek adımlardan fazladır ve bu dengesizlik mercana organik kıvrımını verir. 1’den birçok dizi büyütün ya da 1’deki gövdeden yapraklara doğru geriye yürüyün.

Yöntem 2: karmaşık Collatz fraktalı

Bilinen Collatz dönüşümü ayrıktır. Mandelbrot tarzı bir fraktal boyamak için tüm karmaşık düzlemde düzgün bir fonksiyon gerekir. Trigonometrik bir anahtar bunu sağlar: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) Çift bir tam sayıda cos² = 1 ve sin² = 0 olur, böylece f, z/2’ye indirgenir. Tek bir tam sayıda ağırlıklar yer değiştirir ve f, 3z+1’e indirgenir. Sinüs ve kosinüs tam sayıların arasında da tanımlıdır, bu yüzden her piksel z0 = x + yi yinelenebilir. Renk, |z|’nin R yarıçapından kaçması için kaç adım gerektiğini kaydeder. Kaçış ile yakalanma arasındaki sonsuz ayrıntılı sınır fraktalın kendisidir.

PictorX’te keşfedin

Dolu mercanları büyütmek, tek bir diziyi izlemek ya da sürekli fraktalı tarayıcınızda yakınlaştırmak için Collatz Sanısı’nı açın. Dönüş açılarını ayarlayın, bir başlangıç sayısı seçin, paleti değiştirin ve PNG kaydedin. Daha fazla matematik oyunu için Fractal jeneratör veya Lorenz Çekicisi ile birlikte kullanın.

Sık sorulan sorular

Collatz sanısını kim ortaya attı?

Lothar Collatz 3n+1 problemini 1930’larda yaydı. Ulam sanısı, Kakutani problemi ve dolu problemi olarak da bilinir.

Her sayının 1’e ulaştığı biliniyor mu?

Kontrol edilen her tam sayı ulaşıyor; 2×10²¹’in çok üzerindeki değerler de dahil. Bu güçlü bir kanıt göstergesidir, her tam sayının ulaştığının kanıtı değildir.

Terence Tao neyi kanıtladı?

2019’da neredeyse tüm başlangıç değerlerinin, ne kadar yavaş olursa olsun sonsuza giden herhangi bir fonksiyondan sonunda daha küçük hâle geldiğini gösterdi. Bu sanıya yakındır ama istisnai sayılara hâlâ izin verir.

Collatz fraktalı nasıl oluşturulur?

Trigonometrik bir formül tam sayılarda n/2 ve 3n+1 ile örtüşür ve diğer her yerde düzgün kalır. Karmaşık başlangıç noktalarında yinelenip kaçış süresine göre renklendirildiğinde fraktal ortaya çıkar.