La congettura di Collatz

Le regole

Scegli un qualsiasi intero positivo n e applica due regole più e più volte. Se il numero è pari, dividilo per 2. Se è dispari, moltiplicalo per 3 e aggiungi 1. La congettura afferma che ogni valore di partenza raggiunge prima o poi 1. A 1 si entra in un ciclo infinito: 1 → 4 → 2 → 1.

Un esempio: partire da 6

6 è pari, quindi 6/2 = 3. 3 è dispari, quindi 3×3+1 = 10. Poi 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. I valori schizzano su e giù prima di crollare, ed è per questo che queste successioni si chiamano anche numeri grandine.

Perché è così difficile

I computer hanno verificato ogni intero ben oltre 2×10²¹ e ognuno finisce a 1. Manca ancora una dimostrazione inattaccabile. Paul Erdős disse una volta che la matematica semplicemente non è pronta per problemi di questo tipo. Nel 2019 Terence Tao ha dimostrato che la congettura vale per quasi tutti i numeri — una svolta importante che lascia però aperto il caso assoluto. Un’azienda giapponese ha messo in palio 120 milioni di yen (circa 750.000 €) per una soluzione definitiva.

Metodo 1: l’albero geometrico

Invece di tracciare n rispetto al numero di passi, tratta la successione come una navigazione nel piano. Ogni punto ha una posizione (x, y) e una direzione θ. Un passo di lunghezza L porta a x' = x + L cos θ e y' = y + L sin θ; L si accorcia al crescere dei numeri, in proporzione a n / (1 + n^1,3), così le salite più alte si arricciano in fronde. La direzione successiva dipende dalla parità: i numeri pari ruotano di un piccolo angolo α, i dispari ruotano nell’altro verso di β. Spesso si sceglie α ≠ β — per esempio α = 0,15 e β = 0,28 — perché una successione tipica ha più passi pari che dispari, e lo squilibrio dà al corallo la sua curvatura organica. Fai crescere molte successioni da 1, oppure risali dal tronco in 1 verso le foglie.

Metodo 2: il frattale di Collatz complesso

La consueta mappa di Collatz è discreta. Per dipingere un frattale alla Mandelbrot serve una funzione liscia su tutto il piano complesso. Un interruttore trigonometrico fa al caso: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) Su un intero pari, cos² = 1 e sin² = 0, quindi f si riduce a z/2. Su un intero dispari i pesi si scambiano e f si riduce a 3z+1. Seno e coseno sono definiti anche tra gli interi, quindi ogni pixel z0 = x + yi può essere iterato. Il colore registra quanti passi servono a |z| per uscire da un raggio R. Il confine infinitamente dettagliato tra fuga e cattura è il frattale.

Esplorala in PictorX

Apri Congettura di Collatz per far crescere coralli di grandine, seguire una singola successione o zoomare nel frattale continuo dal browser. Regola gli angoli di rotazione, scegli un numero di partenza, cambia la tavolozza e salva un PNG. Abbinala a Generatore di frattali o Attrattore di Lorenz per altro gioco matematico.

Domande frequenti

Chi ha formulato la congettura di Collatz?

Lothar Collatz diffuse il problema 3n+1 negli anni Trenta. È noto anche come congettura di Ulam, problema di Kakutani e problema della grandine.

Si sa che ogni numero raggiunge 1?

Ogni intero verificato lo fa, compresi valori ben oltre 2×10²¹. È un forte indizio, non una dimostrazione che valga per ogni intero.

Che cosa ha dimostrato Terence Tao?

Nel 2019 ha mostrato che quasi tutti i valori di partenza diventano prima o poi più piccoli di qualsiasi funzione data che tenda all’infinito, per quanto lentamente. È vicino alla congettura, ma ammette ancora numeri eccezionali.

Come si costruisce il frattale di Collatz?

Una formula trigonometrica coincide con n/2 e 3n+1 sugli interi e resta liscia ovunque altrove. Iterandola su punti di partenza complessi e colorando in base al tempo di fuga si ottiene il frattale.