Sobre a conjetura de Collatz | O problema 3n+1

As regras

Escolha qualquer inteiro positivo n e aplique duas regras repetidamente. Se o número for par, divida-o por 2. Se for ímpar, multiplique-o por 3 e some 1. A conjetura diz que todo o valor inicial acaba por chegar a 1. Em 1 entra-se num ciclo infinito: 1 → 4 → 2 → 1.

Um exemplo: começar em 6

6 é par, logo 6/2 = 3. 3 é ímpar, logo 3×3+1 = 10. Depois 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Os valores sobem e descem bruscamente antes de colapsarem, por isso estas sequências também se chamam números granizo.

Porque é tão difícil

Os computadores verificaram todos os inteiros muito para lá de 2×10²¹, e todos terminam em 1. Ainda falta uma demonstração irrefutável. Paul Erdős disse uma vez que a matemática simplesmente não está preparada para este tipo de problema. Em 2019, Terence Tao provou que a conjetura é válida para quase todos os números — um grande avanço que, ainda assim, deixa o caso absoluto em aberto. Uma empresa japonesa oferece um prémio de 120 milhões de ienes (cerca de 750 000 €) por uma solução definitiva.

Método 1: a árvore geométrica

Em vez de representar n em função do número de passos, trate a sequência como uma navegação no plano. Cada ponto tem uma posição (x, y) e um rumo θ. Um passo de comprimento L dá x' = x + L cos θ e y' = y + L sin θ; L encurta à medida que os números crescem, em proporção a n / (1 + n^1,3), pelo que as subidas altas se enrolam em frondes. O rumo seguinte depende da paridade: os números pares rodam um pequeno ângulo α e os ímpares rodam para o outro lado um ângulo β. Costuma escolher-se α ≠ β — por exemplo α = 0,15 e β = 0,28 — porque uma sequência típica tem mais passos pares do que ímpares, e esse desequilíbrio dá ao coral a sua curvatura orgânica. Faça crescer muitas sequências a partir de 1 ou percorra para trás desde o tronco em 1 até às folhas.

Método 2: o fractal de Collatz complexo

A aplicação de Collatz habitual é discreta. Para pintar um fractal ao estilo de Mandelbrot é preciso uma função suave em todo o plano complexo. Um interruptor trigonométrico resolve isso: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) Num inteiro par, cos² = 1 e sin² = 0, pelo que f se reduz a z/2. Num inteiro ímpar os pesos trocam e f reduz-se a 3z+1. O seno e o cosseno também estão definidos entre os inteiros, por isso cada píxel z0 = x + yi pode ser iterado. A cor regista quantos passos |z| demora a escapar de um raio R. A fronteira infinitamente detalhada entre fuga e captura é o fractal.

Explore-a no PictorX

Abra Conjetura de Collatz para fazer crescer corais de granizo, percorrer uma única sequência ou ampliar o fractal contínuo no navegador. Ajuste os ângulos de rotação, escolha um número inicial, mude a paleta e guarde um PNG. Combine-a com o Gerador de fractais ou o Atrator de Lorenz para mais diversão matemática.

Perguntas frequentes

Quem formulou a conjetura de Collatz?

Lothar Collatz divulgou o problema 3n+1 na década de 1930. Também é conhecido como conjetura de Ulam, problema de Kakutani e problema do granizo.

Sabe-se que todos os números chegam a 1?

Todos os inteiros verificados chegam, incluindo valores muito acima de 2×10²¹. É um indício forte, não uma demonstração de que todos os inteiros chegam.

O que provou Terence Tao?

Em 2019 mostrou que quase todos os valores iniciais acabam por ficar menores do que qualquer função dada que tenda para infinito, por mais lentamente que seja. Isso aproxima-se da conjetura, mas ainda admite números excecionais.

Como se constrói o fractal de Collatz?

Uma fórmula trigonométrica coincide com n/2 e 3n+1 nos inteiros e mantém-se suave em todo o lado. Iterá-la em pontos iniciais complexos e colorir pelo tempo de fuga produz o fractal.