Über die Collatz-Vermutung | Das 3n+1-Problem

Die Regeln

Wählen Sie eine beliebige positive ganze Zahl n und wenden Sie immer wieder zwei Regeln an. Ist die Zahl gerade, teilen Sie sie durch 2. Ist sie ungerade, multiplizieren Sie sie mit 3 und addieren 1. Die Vermutung besagt, dass jeder Startwert irgendwann 1 erreicht. Bei 1 geraten Sie in eine Endlosschleife: 1 → 4 → 2 → 1.

Ein Beispiel: Start bei 6

6 ist gerade, also 6/2 = 3. 3 ist ungerade, also 3×3+1 = 10. Dann folgt 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Die Werte schießen auf und ab, bevor sie zusammenfallen – deshalb heißen diese Folgen auch Hagelkornzahlen.

Warum es so schwer ist

Computer haben jede ganze Zahl weit über 2×10²¹ hinaus geprüft, und jede endet bei 1. Ein lückenloser Beweis fehlt jedoch noch. Paul Erdős sagte einmal, die Mathematik sei für diese Art von Problem einfach noch nicht bereit. 2019 bewies Terence Tao, dass die Vermutung für fast alle Zahlen gilt – ein großer Durchbruch, der den absoluten Fall dennoch offenlässt. Ein japanisches Unternehmen hat 120 Millionen Yen (etwa 750.000 €) für eine endgültige Lösung ausgelobt.

Methode 1: der geometrische Baum

Statt n gegen die Schrittzahl aufzutragen, behandeln Sie die Folge als Navigation in der Ebene. Jeder Punkt hat eine Position (x, y) und eine Richtung θ. Ein Schritt der Länge L bewegt x' = x + L cos θ und y' = y + L sin θ; L wird mit wachsenden Zahlen kürzer, proportional zu n / (1 + n^1,3), sodass sich hohe Ausschläge zu Wedeln einrollen. Die nächste Richtung hängt von der Parität ab: Gerade Zahlen drehen um einen kleinen Winkel α, ungerade in die andere Richtung um β. Oft wählt man α ≠ β – etwa α = 0,15 und β = 0,28 –, weil eine typische Folge mehr gerade als ungerade Schritte hat; dieses Ungleichgewicht gibt der Koralle ihre organische Krümmung. Lassen Sie viele Folgen aus 1 wachsen oder gehen Sie vom Stamm bei 1 rückwärts zu den Blättern.

Methode 2: das komplexe Collatz-Fraktal

Die übliche Collatz-Abbildung ist diskret. Für ein Fraktal im Stil von Mandelbrot braucht man eine glatte Funktion auf der ganzen komplexen Ebene. Ein trigonometrischer Schalter leistet das: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) Bei einer geraden ganzen Zahl ist cos² = 1 und sin² = 0, also wird f zu z/2. Bei einer ungeraden tauschen die Gewichte, und f wird zu 3z+1. Sinus und Kosinus sind auch zwischen den ganzen Zahlen definiert, daher lässt sich jedes Pixel z0 = x + yi iterieren. Die Farbe zeigt, wie viele Schritte |z| braucht, um einen Radius R zu verlassen. Die unendlich detaillierte Grenze zwischen Entkommen und Gefangensein ist das Fraktal.

Entdecken Sie sie in PictorX

Öffnen Sie Collatz-Vermutung, um Hagelkorn-Korallen wachsen zu lassen, einer einzelnen Folge zu folgen oder im Browser in das kontinuierliche Fraktal zu zoomen. Stellen Sie die Drehwinkel ein, wählen Sie eine Startzahl, ändern Sie die Palette und speichern Sie ein PNG. Kombinieren Sie es mit Fraktal Generator oder Lorenz-Attraktor für noch mehr mathematisches Spiel.

Häufig gestellte Fragen

Wer hat die Collatz-Vermutung aufgestellt?

Lothar Collatz brachte das 3n+1-Problem in den 1930er-Jahren in Umlauf. Es heißt auch Ulam-Vermutung, Kakutani-Problem und Hagelkornproblem.

Ist von jeder Zahl bekannt, dass sie 1 erreicht?

Jede bisher geprüfte ganze Zahl tut es, auch Werte weit über 2×10²¹. Das ist ein starkes Indiz, aber kein Beweis, dass jede ganze Zahl es tut.

Was hat Terence Tao bewiesen?

2019 zeigte er, dass fast alle Startwerte irgendwann kleiner werden als jede vorgegebene Funktion, die gegen unendlich geht, egal wie langsam. Das kommt der Vermutung nahe, lässt aber noch Ausnahmezahlen zu.

Wie entsteht das Collatz-Fraktal?

Eine trigonometrische Formel stimmt auf den ganzen Zahlen mit n/2 und 3n+1 überein und bleibt überall sonst glatt. Iteriert man sie für komplexe Startpunkte und färbt nach Fluchtzeit ein, entsteht das Fraktal.