Về Giả thuyết Collatz | Bài toán 3n+1

Quy tắc

Chọn một số nguyên dương n bất kỳ và áp dụng hai quy tắc lặp đi lặp lại. Nếu số chẵn, chia cho 2. Nếu số lẻ, nhân 3 rồi cộng 1. Giả thuyết cho rằng mọi giá trị ban đầu cuối cùng đều về 1. Tại 1 bạn rơi vào vòng lặp vô hạn: 1 → 4 → 2 → 1.

Ví dụ: bắt đầu từ 6

6 là số chẵn nên 6/2 = 3. 3 là số lẻ nên 3×3+1 = 10. Sau đó 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Các giá trị vọt lên xuống trước khi sụp đổ, vì vậy các dãy này còn được gọi là số mưa đá.

Vì sao lại khó đến vậy

Máy tính đã kiểm tra mọi số nguyên vượt xa 2×10²¹, và số nào cũng kết thúc ở 1. Nhưng vẫn chưa có một chứng minh chặt chẽ. Paul Erdős từng nói toán học đơn giản là chưa sẵn sàng cho loại bài toán này. Năm 2019, Terence Tao chứng minh giả thuyết đúng với hầu hết mọi số — một bước đột phá lớn nhưng vẫn để ngỏ trường hợp tuyệt đối. Một công ty Nhật Bản treo giải 120 triệu yên (khoảng 750.000 €) cho lời giải dứt điểm.

Phương pháp 1: cây hình học

Thay vì vẽ n theo số bước, hãy coi dãy số như việc điều hướng trên mặt phẳng. Mỗi điểm có vị trí (x, y) và hướng θ. Một bước có độ dài L cho x' = x + L cos θ và y' = y + L sin θ; L ngắn dần khi các số lớn lên, tỉ lệ với n / (1 + n^1,3), nên những đoạn vọt cao cuộn lại thành tán lá. Hướng tiếp theo phụ thuộc vào tính chẵn lẻ: số chẵn xoay một góc nhỏ α, số lẻ xoay ngược lại một góc β. Người thiết kế thường chọn α ≠ β — ví dụ α = 0,15 và β = 0,28 — vì một dãy điển hình có nhiều bước chẵn hơn bước lẻ, và sự mất cân bằng đó tạo cho san hô độ cong tự nhiên. Hãy cho nhiều dãy mọc từ 1, hoặc đi ngược từ thân cây tại 1 về phía lá.

Phương pháp 2: fractal Collatz phức

Ánh xạ Collatz thông thường là rời rạc. Để vẽ một fractal kiểu Mandelbrot, bạn cần một hàm trơn trên toàn mặt phẳng phức. Một công tắc lượng giác làm được điều đó: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) Tại số nguyên chẵn, cos² = 1 và sin² = 0, nên f rút gọn thành z/2. Tại số nguyên lẻ, trọng số đổi chỗ và f rút gọn thành 3z+1. Sin và cos cũng xác định giữa các số nguyên, nên mọi điểm ảnh z0 = x + yi đều có thể lặp. Màu sắc ghi lại số bước để |z| thoát khỏi bán kính R. Đường biên chi tiết vô hạn giữa thoát và bị giữ lại chính là fractal.

Khám phá trong PictorX

Mở Giả thuyết Collatz để nuôi san hô mưa đá, đi theo một dãy số hoặc phóng to fractal liên tục ngay trong trình duyệt. Tinh chỉnh góc xoay, chọn số bắt đầu, đổi bảng màu và lưu PNG. Kết hợp với Trình tạo phân dạng hoặc Hấp dẫn Lorenz để chơi toán học nhiều hơn.

Hỏi thường xuyên

Ai đã đưa ra giả thuyết Collatz?

Lothar Collatz đã phổ biến bài toán 3n+1 vào những năm 1930. Nó còn được gọi là giả thuyết Ulam, bài toán Kakutani và bài toán mưa đá.

Có biết chắc mọi số đều về 1 không?

Mọi số nguyên đã được kiểm tra đều về 1, kể cả các giá trị vượt xa 2×10²¹. Đó là bằng chứng mạnh, chứ không phải chứng minh rằng mọi số nguyên đều như vậy.

Terence Tao đã chứng minh điều gì?

Năm 2019, ông chỉ ra rằng hầu hết mọi giá trị ban đầu cuối cùng đều nhỏ hơn bất kỳ hàm nào tiến tới vô cực, dù chậm đến đâu. Điều đó gần với giả thuyết, nhưng vẫn cho phép những số ngoại lệ.

Fractal Collatz được tạo ra như thế nào?

Một công thức lượng giác trùng với n/2 và 3n+1 trên các số nguyên và trơn ở mọi nơi khác. Lặp nó trên các điểm xuất phát phức và tô màu theo thời gian thoát sẽ tạo ra fractal.