O hipotezie Collatza | Problem 3n+1

Zasady

Wybierz dowolną dodatnią liczbę całkowitą n i stosuj dwie reguły raz za razem. Jeśli liczba jest parzysta, podziel ją przez 2. Jeśli jest nieparzysta, pomnóż ją przez 3 i dodaj 1. Hipoteza mówi, że każda wartość początkowa w końcu osiąga 1. Przy 1 wpadasz w nieskończoną pętlę: 1 → 4 → 2 → 1.

Przykład: start od 6

6 jest parzyste, więc 6/2 = 3. 3 jest nieparzyste, więc 3×3+1 = 10. Dalej 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Wartości skaczą w górę i w dół, zanim się załamią, dlatego takie ciągi nazywa się też liczbami gradowymi.

Dlaczego to takie trudne

Komputery sprawdziły każdą liczbę całkowitą daleko poza 2×10²¹ i każda kończy na 1. Szczelnego dowodu wciąż brak. Paul Erdős powiedział kiedyś, że matematyka po prostu nie jest gotowa na tego rodzaju problemy. W 2019 roku Terence Tao udowodnił, że hipoteza zachodzi dla prawie wszystkich liczb — to wielki przełom, który jednak pozostawia przypadek ogólny otwartym. Japońska firma wyznaczyła nagrodę 120 milionów jenów (około 750 000 €) za ostateczne rozwiązanie.

Metoda 1: drzewo geometryczne

Zamiast wykreślać n względem liczby kroków, potraktuj ciąg jak nawigację na płaszczyźnie. Każdy punkt ma położenie (x, y) i kierunek θ. Krok o długości L daje x' = x + L cos θ oraz y' = y + L sin θ; L skraca się wraz ze wzrostem liczb, proporcjonalnie do n / (1 + n^1,3), więc wysokie wzloty zwijają się w liście. Następny kierunek zależy od parzystości: liczby parzyste skręcają o mały kąt α, nieparzyste w drugą stronę o β. Często wybiera się α ≠ β — na przykład α = 0,15 i β = 0,28 — bo typowy ciąg ma więcej kroków parzystych niż nieparzystych, a ta nierównowaga nadaje koralowi organiczny skręt. Wyhoduj wiele ciągów od 1 albo idź wstecz od pnia w 1 ku liściom.

Metoda 2: zespolony fraktal Collatza

Zwykłe odwzorowanie Collatza jest dyskretne. Aby namalować fraktal w stylu Mandelbrota, potrzebna jest gładka funkcja na całej płaszczyźnie zespolonej. Zapewnia ją trygonometryczny przełącznik: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) Dla parzystej liczby całkowitej cos² = 1 i sin² = 0, więc f sprowadza się do z/2. Dla nieparzystej wagi się zamieniają i f sprowadza się do 3z+1. Sinus i cosinus są określone także między liczbami całkowitymi, więc każdy piksel z0 = x + yi można iterować. Kolor zapisuje, ile kroków potrzeba, by |z| opuściło promień R. Nieskończenie szczegółowa granica między ucieczką a schwytaniem to właśnie fraktal.

Odkryj ją w PictorX

Otwórz Hipotezę Collatza, aby hodować gradowe korale, prześledzić pojedynczy ciąg lub przybliżać ciągły fraktal w przeglądarce. Dostosuj kąty skrętu, wybierz liczbę początkową, zmień paletę i zapisz PNG. Połącz ją z Generatorem fraktali lub Atraktorem Lorenza, by dalej bawić się matematyką.

Często zadawane pytania

Kto sformułował hipotezę Collatza?

Lothar Collatz rozpowszechnił problem 3n+1 w latach 30. XX wieku. Nazywa się go też hipotezą Ulama, problemem Kakutaniego i problemem gradu.

Czy wiadomo, że każda liczba osiąga 1?

Każda sprawdzona liczba całkowita tak, w tym wartości daleko powyżej 2×10²¹. To mocna przesłanka, a nie dowód, że dotyczy to każdej liczby.

Co udowodnił Terence Tao?

W 2019 roku pokazał, że prawie wszystkie wartości początkowe w końcu stają się mniejsze od dowolnej zadanej funkcji dążącej do nieskończoności, choćby najwolniej. To blisko hipotezy, ale wciąż dopuszcza liczby wyjątkowe.

Jak powstaje fraktal Collatza?

Wzór trygonometryczny pokrywa się z n/2 i 3n+1 na liczbach całkowitych, a wszędzie indziej pozostaje gładki. Iterując go dla zespolonych punktów startowych i kolorując według czasu ucieczki, otrzymuje się fraktal.