О гипотезе Коллатца | Задача 3n+1

Правила

Выберите любое натуральное число n и снова и снова применяйте два правила. Если число чётное, разделите его на 2. Если нечётное — умножьте на 3 и прибавьте 1. Гипотеза утверждает, что любое начальное значение в итоге достигает 1. На 1 вы попадаете в бесконечный цикл: 1 → 4 → 2 → 1.

Пример: начнём с 6

6 чётное, поэтому 6/2 = 3. 3 нечётное, поэтому 3×3+1 = 10. Далее 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Значения взлетают и падают, прежде чем обрушиться, поэтому такие последовательности называют ещё числами-градинами.

Почему это так трудно

Компьютеры проверили все целые числа далеко за пределами 2×10²¹, и каждое заканчивается на 1. Строгого доказательства по-прежнему нет. Пал Эрдёш однажды сказал, что математика просто не готова к задачам такого рода. В 2019 году Теренс Тао доказал, что гипотеза верна почти для всех чисел, — крупный прорыв, который всё же оставляет общий случай открытым. Японская компания назначила премию 120 миллионов иен (около 750 000 €) за окончательное решение.

Способ 1: геометрическое дерево

Вместо графика n от числа шагов рассматривайте последовательность как навигацию на плоскости. У каждой точки есть положение (x, y) и направление θ. Шаг длины L даёт x' = x + L cos θ и y' = y + L sin θ; с ростом чисел L укорачивается пропорционально n / (1 + n^1,3), поэтому высокие взлёты сворачиваются в листья. Следующее направление зависит от чётности: чётные числа поворачивают на малый угол α, нечётные — в другую сторону на β. Часто выбирают α ≠ β — например, α = 0,15 и β = 0,28, — потому что в типичной последовательности чётных шагов больше, чем нечётных, и этот дисбаланс придаёт кораллу естественный изгиб. Выращивайте множество последовательностей от 1 или идите назад от ствола в 1 к листьям.

Способ 2: комплексный фрактал Коллатца

Обычное отображение Коллатца дискретно. Чтобы нарисовать фрактал в духе Мандельброта, нужна гладкая функция на всей комплексной плоскости. Это делает тригонометрический переключатель: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) На чётном целом cos² = 1 и sin² = 0, поэтому f сводится к z/2. На нечётном веса меняются местами, и f сводится к 3z+1. Синус и косинус определены и между целыми числами, поэтому каждый пиксель z0 = x + yi можно итерировать. Цвет показывает, за сколько шагов |z| выходит за радиус R. Бесконечно детализированная граница между уходом и захватом и есть фрактал.

Исследуйте её в PictorX

Откройте «Гипотезу Коллатца», чтобы выращивать кораллы из градин, пройти одну последовательность или приближать непрерывный фрактал прямо в браузере. Настройте углы поворота, выберите начальное число, смените палитру и сохраните PNG. Сочетайте её с «Генератором фракталов» или «Аттрактором Лоренца» для новых математических игр.

Часто задаваемые вопросы

Кто сформулировал гипотезу Коллатца?

Лотар Коллатц распространил задачу 3n+1 в 1930-х годах. Её также называют гипотезой Улама, проблемой Какутани и задачей о градинах.

Известно ли, что каждое число достигает 1?

Каждое проверенное целое число достигает 1, включая значения далеко за 2×10²¹. Это веское свидетельство, но не доказательство для всех целых чисел.

Что доказал Теренс Тао?

В 2019 году он показал, что почти все начальные значения в итоге становятся меньше любой заданной функции, стремящейся к бесконечности, как бы медленно она ни росла. Это близко к гипотезе, но всё ещё допускает исключительные числа.

Как строится фрактал Коллатца?

Тригонометрическая формула совпадает с n/2 и 3n+1 на целых числах и остаётся гладкой везде остальном. Итерируя её для комплексных начальных точек и раскрашивая по времени ухода, получают фрактал.