Sobre a espiral de Ulam | Distribuição dos primos e polinómio de Euler

Um rabisco de 1963

Stanisław Ulam encontrou a espiral em 1963, durante aquilo a que Martin Gardner chamou mais tarde uma comunicação longa e muito aborrecida num congresso científico. Ulam escreveu os inteiros positivos em espiral numa grelha quadrada e assinalou os primos com círculos. Os círculos alinhavam-se. Ele, Myron Stein e Mark Wells alargaram depois a imagem até cerca de 100 000 pontos no computador MANIAC II de Los Alamos. A coluna Mathematical Games de Gardner na Scientific American de março de 1964 pôs a espiral na capa. As linhas não são uma prova de como os primos estão espaçados. São uma forma de ver um facto que a teoria dos números já conhecia de outra forma: alguns polinómios quadráticos produzem primos muito mais vezes do que outros.

Como o quadrado é preenchido

A espiral começa com 1 no centro. O número seguinte fica um passo à direita, e depois o caminho vira à esquerda, no sentido anti-horário, com cada troço reto um passo mais longo do que o anterior: um passo, um passo, dois, dois, três, três, e assim por diante. O primeiro quadrado completo lê-se, linha a linha: 17 16 15 14 13, depois 18 5 4 3 12, depois 19 6 1 2 11, depois 20 7 8 9 10, depois 21 22 23 24 25. Pode começar num número diferente de 1. Aparecem linhas do mesmo tipo. Começar em 41 é o caso famoso.

As linhas são polinómios quadráticos

Cada diagonal, e cada raio horizontal ou vertical, é exatamente o conjunto de valores de um polinómio quadrático f(n) = 4n² + bn + c. Quando b é par, a linha é diagonal e os valores são todos ímpares ou todos pares, conforme c. Todos os primos exceto 2 são ímpares, por isso os primos ficam em diagonais alternadas. Alguns desses polinómios fatorizam-se. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), pelo que essa diagonal quase não tem primos. Outros continuam primos com surpreendente frequência. A diferença não é magia: depende de quantas vezes o polinómio é forçado a ser divisível por um primo pequeno. A conjetura F de Hardy e Littlewood, caso particular da conjetura de Bateman-Horn, prevê a densidade ao longo de ax² + bx + c. A densidade depende do discriminante b² − 4ac. Não se provou que algum polinómio quadrático produza infinitos primos. É um dos problemas de Landau e continua em aberto.

Os quarenta primos de Euler

O polinómio de Euler n² + n + 41 é primo para todo o n de 0 a 39. São quarenta primos. Para n = 40 dá 1681 = 41², e a sequência termina. Na espiral esses valores são o único polinómio 4n² − 2n + 41, que é o polinómio de Euler nos inteiros pares, juntamente com a direção oposta 4n² + 2n + 41. Tornam-se uma única diagonal reta quando a célula central é 41 em vez de 1. A sequência ininterrupta são os quarenta valores de 1523 (dezanove passos a sudoeste do centro) a 1601 (vinte passos a nordeste), passando por 41. As células seguintes, 1681 e 1763, são compostas, por isso a linha dourada quebra-se. A constante de Hardy e Littlewood para 4n² − 2n + 41 é cerca de 6,6: a conjetura diz que estes valores são primos quase sete vezes mais vezes do que números aleatórios do mesmo tamanho.

Para que serve a imagem

A espiral não decide o teorema dos números primos, e uma diagonal longa não é uma demonstração. É um mapa. Os polinómios ricos e pobres em primos veem-se num relance, e foi por isso que Ulam, e antes dele Laurence Klauber em 1932, se deram ao trabalho de os desenhar. Klauber usou um triângulo cujas linhas vão de um quadrado ao seguinte. Mais tarde, Robert Sacks colocou os inteiros numa espiral de Arquimedes, de modo que em cada volta cai um quadrado; aí o polinómio de Euler é uma curva em vez de dois raios diagonais. Na espiral quadrada, o que interessa é a fórmula da linha sob o seu dedo, quantos primos contém e como isso se compara com 1 / ln n, a probabilidade de um número aleatório desse tamanho ser primo.

Explore-a no PictorX

Abra a espiral de Ulam e obtém a imagem clássica: um quadrado de 101×101, primos a dourado, compostos ocultos. Arraste para mover e deslize para fazer zoom. O favorito «Grelha 5×5» escreve todos os números, para que possa comparar o percurso com o quadrado acima. «Os 40 de Euler» começa a espiral em 41 e desenha 4n² − 2n + 41. «Linha mais rica» procura nas duas direções diagonais a que tem mais primos. Clique numa célula para ver a sua diagonal, com o polinómio, a maior sequência de primos e a comparação com um número aleatório desse tamanho. «Resto mod 4» e «Último algarismo» recolorem os primos. Guarde um PNG ou abra a tela no editor PictorX. Combine-a com a conjetura de Collatz ou a formiga de Langton para mais regras simples com uma imagem surpreendente.

Perguntas frequentes

Quem descobriu a espiral de Ulam?

Stanisław Ulam, em 1963, enquanto rabiscava durante uma reunião científica. Martin Gardner popularizou-a na Scientific American em março de 1964. Laurence Klauber tinha desenhado em 1932 uma disposição triangular de primos semelhante.

Porque é que os primos se alinham?

Uma diagonal, linha ou coluna da espiral quadrada é um polinómio quadrático 4n² + bn + c. Alguns desses polinómios são divisíveis por um primo pequeno com invulgar frequência, e outros quase nunca. Os primos são o que sobra.

O que tem de especial n² + n + 41?

É primo para n = 0, 1, 2, …, 39, quarenta primos, e composto em n = 40 porque o valor é 41². Na espiral, comece em 41 e essa sequência é uma única diagonal: de 1523 a 1601 passando por 41, os valores de 4n² − 2n + 41.

A espiral prova como os primos estão distribuídos?

Não. Mostra a variação que a conjetura F de Hardy e Littlewood tenta prever. Não se provou que algum polinómio quadrático gere infinitos primos.