Over de Ulam-spiraal | Verdeling van priemgetallen & Eulers veelterm

Een krabbel uit 1963

Stanisław Ulam vond de spiraal in 1963, tijdens wat Martin Gardner later een lange en zeer saaie lezing op een wetenschappelijk congres noemde. Ulam schreef de positieve gehele getallen in een spiraal op een vierkant raster en omcirkelde de priemgetallen. De cirkels lagen op lijnen. Met Myron Stein en Mark Wells breidde hij het beeld daarna uit tot ongeveer 100.000 punten op de MANIAC II-computer in Los Alamos. Gardners rubriek Mathematical Games in Scientific American van maart 1964 zette de spiraal op de omslag. De lijnen zijn geen bewijs van hoe de priemgetallen verdeeld zijn. Ze laten een feit zien dat de getaltheorie al in een andere vorm kende: sommige kwadratische veeltermen leveren veel vaker priemgetallen op dan andere.

Hoe het vierkant wordt gevuld

De spiraal begint met 1 in het midden. Het volgende getal staat één stap naar rechts, daarna slaat het pad linksaf, tegen de klok in, en elk recht stuk is één stap langer dan het vorige: één stap, één stap, twee, twee, drie, drie, enzovoort. Het eerste volledige vierkant luidt, rij voor rij: 17 16 15 14 13, dan 18 5 4 3 12, dan 19 6 1 2 11, dan 20 7 8 9 10, dan 21 22 23 24 25. Je kunt ook bij een ander getal dan 1 beginnen. Dezelfde soort lijnen verschijnt. Beginnen bij 41 is het beroemde geval.

Lijnen zijn kwadratische veeltermen

Elke diagonaal, en elke horizontale of verticale straal, is precies de verzameling waarden van een kwadratische veelterm f(n) = 4n² + bn + c. Als b even is, loopt de lijn diagonaal en zijn de waarden, afhankelijk van c, allemaal oneven of allemaal even. Elk priemgetal behalve 2 is oneven, dus de priemgetallen liggen op om de andere diagonaal. Sommige van die veeltermen zijn te ontbinden. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), dus die diagonaal is bijna leeg van priemgetallen. Andere blijven verrassend vaak priem. Het verschil is geen magie: het hangt af van hoe vaak de veelterm gedwongen deelbaar is door een klein priemgetal. Vermoeden F van Hardy en Littlewood, een bijzonder geval van het vermoeden van Bateman-Horn, voorspelt de dichtheid langs ax² + bx + c. Die dichtheid hangt af van de discriminant b² − 4ac. Van geen enkele kwadratische veelterm is bewezen dat hij oneindig veel priemgetallen oplevert. Dat is een van de problemen van Landau, en het is nog altijd open.

Eulers veertig priemgetallen

Eulers veelterm n² + n + 41 is priem voor elke n van 0 tot en met 39. Dat zijn veertig priemgetallen. Bij n = 40 geeft hij 1.681 = 41², en de reeks stopt. Op de spiraal zijn die waarden de ene veelterm 4n² − 2n + 41, Eulers veelterm in de even getallen, samen met de tegengestelde richting 4n² + 2n + 41. Ze worden één rechte diagonaal als de middelste cel 41 is in plaats van 1. De ononderbroken reeks bestaat uit de veertig waarden van 1.523 (negentien stappen ten zuidwesten van het midden) via 41 tot 1.601 (twintig stappen naar het noordoosten). De volgende cellen, 1.681 en 1.763, zijn samengesteld, dus de gouden lijn breekt. De constante van Hardy en Littlewood voor 4n² − 2n + 41 is ongeveer 6,6: volgens het vermoeden zijn deze waarden bijna zeven keer zo vaak priem als willekeurige getallen van dezelfde grootte.

Waar het plaatje voor dient

De spiraal beslist niets over de priemgetalstelling, en een lange diagonaal is geen bewijs. Het is een kaart. Veeltermen die rijk of arm zijn aan priemgetallen zie je in één oogopslag, en daarom namen Ulam, en vóór hem Laurence Klauber in 1932, de moeite om ze te tekenen. Klauber gebruikte een driehoek waarvan de rijen van het ene kwadraat naar het volgende lopen. Robert Sacks zette de gehele getallen later op een archimedische spiraal, zodat er op elke winding één kwadraat valt; daar is Eulers veelterm een kromme in plaats van twee diagonale stralen. In de vierkante spiraal kijk je naar de formule van de lijn onder je vinger, hoeveel priemgetallen erop liggen, en hoe dat zich verhoudt tot 1 / ln n, de kans dat een willekeurig getal van die grootte priem is.

Ontdek hem in PictorX

Open de Ulam-spiraal en je krijgt het klassieke beeld: een vierkant van 101×101, priemgetallen in goud, samengestelde getallen verborgen. Sleep om te verschuiven en scrol om te zoomen. De favoriet ‘5×5-raster’ schrijft elk getal uit, zodat je het pad kunt vergelijken met het vierkant hierboven. ‘Eulers 40’ laat de spiraal bij 41 beginnen en tekent 4n² − 2n + 41. ‘Rijkste lijn’ zoekt in beide diagonale richtingen naar de lijn met de meeste priemgetallen. Klik op een cel om de diagonaal ervan in de uitlezing te zien, met de veelterm, de langste reeks priemgetallen en de vergelijking met een willekeurig getal van die grootte. ‘Rest mod 4’ en ‘Laatste cijfer’ kleuren de priemgetallen opnieuw. Sla een PNG op of open het canvas in de PictorX-editor. Combineer hem met het vermoeden van Collatz of de mier van Langton voor meer eenvoudige regels met een verrassend beeld.

Veelgestelde vragen

Wie ontdekte de Ulam-spiraal?

Stanisław Ulam, in 1963, terwijl hij zat te krabbelen tijdens een wetenschappelijke bijeenkomst. Martin Gardner maakte hem in maart 1964 bekend in Scientific American. Laurence Klauber had in 1932 al een verwante driehoekige rangschikking van priemgetallen getekend.

Waarom liggen de priemgetallen op lijnen?

Een diagonaal, rij of kolom van de vierkante spiraal is een kwadratische veelterm 4n² + bn + c. Sommige van die veeltermen zijn ongewoon vaak deelbaar door een klein priemgetal, andere bijna nooit. De priemgetallen zijn wat overblijft.

Wat is er bijzonder aan n² + n + 41?

Hij is priem voor n = 0, 1, 2, …, 39, veertig priemgetallen, en samengesteld bij n = 40 omdat de waarde 41² is. Laat je de spiraal bij 41 beginnen, dan is die reeks één diagonaal: 1.523 via 41 tot 1.601, de waarden van 4n² − 2n + 41.

Bewijst de spiraal hoe de priemgetallen verdeeld zijn?

Nee. Hij laat de variatie zien die vermoeden F van Hardy en Littlewood probeert te voorspellen. Van geen enkele kwadratische veelterm is bewezen dat hij oneindig veel priemgetallen voortbrengt.