バーンズリーのシダ
バーンズリーのシダは、4つの小さな式から作られるフラクタルです。原点から始め、アフィン写像を1つランダムに選ぶ操作を何度も繰り返します。数万個の点を打つと、ブラック・スプリーンワートが現れます。どの小葉も葉全体の縮小コピーなので、どれだけ拡大しても細部が失われません。 シダが育つ様子を眺め、小葉を拡大したり、係数を少し動かしたりできます。
使い方
- このページを開き、カオスゲームでシダが埋まっていく様子を眺めましょう。
- ドラッグで移動、スクロールでズーム。小葉は同じシダを小さく描いたものです。
- 品種を切り替えたり、点を描いた変換ごとに色分けしたり、カールや小葉のサイズを少し動かしたりしてから、PNG で保存します。
4つの写像、1枚の葉
各ステップでは f(x, y) = 行列 ×(x, y) + 平行移動 を適用します。ブラック・スプリーンワートはこの写像を4つ使います。1つは茎を描き、約1%の確率で選ばれます。1つはシダを茎の上方にある一回り小さな小葉へコピーし、約85%の確率で選ばれます。残る2つは一番下の左右の羽片を描き、それぞれ約7%の確率で選ばれます。その羽片自体がシダ全体のコピーなので、側枝は自然に現れます。
カオスゲーム
最初の点は原点です。新しい点は、上の確率で選んだ写像による前の点の像です。十分な数の点を打つと、点の雲がシダの形に落ち着きます。同じ係数からは必ず同じ形ができます。古典的な葉はおよそ −2.18 < x < 2.66、0 ≤ y < 10 の範囲に収まります。
変異種と自己相似
係数を変えると植物も変わります。ヒメシダ科と薄嚢シダは、同じく4つの写像からなるブラック・スプリーンワートの近縁として発表されたものです。カールは茎を傾けます。小葉のサイズは左右の2つの写像を拡大縮小します。変換別の色分けでは、茎、連続する小葉、左の羽片、右の羽片が別々の色で塗られ、どの式がどの点を描いたかがわかります。拡大しても、細部は尽きません。
よくある質問
バーンズリーのシダとは？
マイケル・バーンズリーが、ブラック・スプリーンワート（Asplenium adiantum-nigrum）に似せて考案したフラクタルです。反復関数系であり、4つのアフィン写像を繰り返すことで植物全体が描かれます。
4つの変換はそれぞれ何をするのですか？
1つはすべての点を茎の上に写します。1つは茎の上方に、次の一回り小さな小葉を作ります。1つは大きな左の羽片を、もう1つは大きな右の羽片を描きます。左右の羽片には、同じシダの小さなコピーが含まれています。
なぜどこまでもズームできるのですか？
このシダは自己相似です。どの小葉も、写像の1つを施した後の葉全体なので、近づいて見えるのは同じ構造の別のコピーであり、固定された絵がぼやけたものではありません。
変異種とは何ですか？
同じ4写像のレシピで、係数だけが違うものです。ヒメシダ科と薄嚢シダは、発表済みの2つの変異種です。カール、小葉のサイズ、ランダムで係数をさらに動かせます。これがバーンズリーのスーパーフラクタルの考え方です。
シダのデータは端末の外に送られますか？
いいえ。点はブラウザー内で計算されます。PNG で保存するか、キャンバスを PictorX エディターで開けます。
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