ウラムの螺旋について | 素数の分布とオイラーの多項式

1963年の落書き

スタニスワフ・ウラムは1963年、ある学会で、マーティン・ガードナーがのちに「長くてとても退屈な発表」と呼んだ講演を聞いている最中にこの螺旋を見つけました。ウラムは正の整数を正方格子に螺旋状に書き、素数を丸で囲みました。丸は線上に並びました。その後、マイロン・スタイン、マーク・ウェルズとともに、ロスアラモスの計算機 MANIAC II で約100,000点まで絵を広げました。1964年3月の Scientific American に載ったガードナーのコラム「数学ゲーム」は、この螺旋を表紙に掲げました。これらの線は、素数の間隔を証明するものではありません。数論が別の形ですでに知っていた事実を目で見る方法です。つまり、ある二次多項式は他の二次多項式よりはるかに頻繁に素数を生むのです。

正方形の埋め方

螺旋は中央の1から始まります。次の数は一歩右にあり、そこから経路は左へ、つまり反時計回りに曲がります。まっすぐな区間は前より一歩ずつ長くなります。一歩、一歩、二歩、二歩、三歩、三歩という具合です。最初の完全な正方形を行ごとに読むと、17 16 15 14 13、次に 18 5 4 3 12、次に 19 6 1 2 11、次に 20 7 8 9 10、次に 21 22 23 24 25 となります。1以外の数から始めることもでき、同じような線が現れます。41から始めるのが有名な例です。

線は二次多項式である

どの対角線も、どの水平・垂直の半直線も、ちょうど二次式 f(n) = 4n² + bn + c の値の集まりです。b が偶数なら線は対角線になり、値は c によってすべて奇数かすべて偶数になります。2を除く素数はすべて奇数なので、素数は一本おきの対角線に並びます。こうした二次式の中には因数分解できるものがあります。4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3) なので、その対角線には素数がほとんどありません。驚くほど頻繁に素数になり続ける式もあります。この違いは魔法ではありません。その多項式が小さな素数で割り切れざるを得ない頻度によるのです。ベイトマン・ホーン予想の特別な場合であるハーディとリトルウッドの予想Fは、ax² + bx + c に沿った素数の密度を予測します。その密度は判別式 b² − 4ac によって決まります。無限に多くの素数を生むと証明された二次式はまだありません。これはランダウの問題の一つで、今も未解決です。

オイラーの40個の素数

オイラーの多項式 n² + n + 41 は、0 から 39 までのすべての n で素数になります。40個の素数です。n = 40 では 1,681 = 41² となり、列は止まります。螺旋上では、これらの値は一つの二次式 4n² − 2n + 41（偶数でのオイラーの多項式）と、反対方向の 4n² + 2n + 41 です。中央のマスが1ではなく41のとき、これらは一本のまっすぐな対角線になります。途切れない列は、1,523（中央から南西へ19歩）から41を通って1,601（北東へ20歩）までの40個の値です。次のマス 1,681 と 1,763 は合成数なので、金色の線はそこで途切れます。4n² − 2n + 41 に対するハーディとリトルウッドの定数は約6.6で、予想によればこれらの値は同じ大きさの無作為な数のほぼ7倍の頻度で素数になります。

この図は何のためにあるのか

この螺旋は素数定理を決着させるものではなく、長い対角線は証明でもありません。これは地図です。素数の多い二次式と少ない二次式がひと目でわかります。だからこそウラムは、そして彼より前の1932年にローレンス・クラウバーは、わざわざそれを描いたのです。クラウバーは、各行がある平方数から次の平方数まで続く三角形を使いました。のちにロバート・サックスは整数をアルキメデスの螺旋上に並べ、一周ごとに平方数が一つ来るようにしました。そこではオイラーの多項式は二本の対角線ではなく一本の曲線になります。四角い螺旋で見るべきは、指の下にある線の式、その線が含む素数の数、そしてそれが 1 / ln n（同じ大きさの無作為な数が素数である確率）と比べてどうか、です。

PictorX で探る

ウラムの螺旋を開くと、古典的な図が現れます。101×101 の正方形、金色の素数、隠された合成数です。ドラッグで移動、スクロールでズームします。お気に入りの「5×5 グリッド」はすべての数字を書き出すので、上の正方形と経路を照らし合わせられます。「オイラーの40」は螺旋を41から始め、4n² − 2n + 41 を描きます。「素数最多の線」は二つの対角方向から素数が最も多い線を探します。任意のマスをクリックすると、その対角線が多項式、最長の素数の連続、同じ大きさの無作為な数との比較とともに表示されます。「mod 4 の剰余」と「末尾の数字」は素数を色分けし直します。PNG で保存するか、PictorX エディターでキャンバスを開きましょう。コラッツ予想やラングトンのアリと組み合わせれば、単純な規則から驚く図が生まれる例をさらに楽しめます。