À propos de la spirale d’Ulam | Répartition des nombres premiers et polynôme d’Euler

Un griffonnage de 1963

Stanisław Ulam a trouvé la spirale en 1963, pendant ce que Martin Gardner a plus tard appelé un exposé long et très ennuyeux lors d’un congrès scientifique. Ulam a écrit les entiers positifs en spirale sur une grille carrée et entouré les nombres premiers. Les cercles s’alignaient. Avec Myron Stein et Mark Wells, il a ensuite prolongé l’image jusqu’à environ 100 000 points sur l’ordinateur MANIAC II de Los Alamos. La rubrique Mathematical Games de Gardner, dans le Scientific American de mars 1964, a mis la spirale en couverture. Les lignes ne prouvent pas comment les nombres premiers sont espacés. Elles permettent de voir un fait que la théorie des nombres connaissait déjà sous une autre forme : certains polynômes du second degré produisent des nombres premiers bien plus souvent que d’autres.

Comment le carré se remplit

La spirale commence par 1 au centre. Le nombre suivant est un pas à droite, puis le chemin tourne à gauche, dans le sens antihoraire, chaque segment droit comptant un pas de plus que le précédent : un pas, un pas, deux, deux, trois, trois, et ainsi de suite. Le premier carré complet se lit, ligne par ligne : 17 16 15 14 13, puis 18 5 4 3 12, puis 19 6 1 2 11, puis 20 7 8 9 10, puis 21 22 23 24 25. Vous pouvez commencer à un autre nombre que 1. Le même genre de lignes apparaît. Commencer à 41 est le cas célèbre.

Les lignes sont des polynômes du second degré

Chaque diagonale, et chaque rayon horizontal ou vertical, est exactement l’ensemble des valeurs d’un polynôme du second degré f(n) = 4n² + bn + c. Quand b est pair, la ligne est diagonale et les valeurs sont toutes impaires ou toutes paires, selon c. Tout nombre premier sauf 2 est impair, donc les nombres premiers se trouvent sur une diagonale sur deux. Certains de ces polynômes se factorisent. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), si bien que cette diagonale est presque vide de nombres premiers. D’autres restent premiers étonnamment souvent. La différence n’a rien de magique : elle tient à la fréquence à laquelle le polynôme est forcé d’être divisible par un petit nombre premier. La conjecture F de Hardy et Littlewood, cas particulier de la conjecture de Bateman-Horn, prédit la densité le long de ax² + bx + c. Cette densité dépend du discriminant b² − 4ac. Aucun polynôme du second degré n’a été prouvé produire une infinité de nombres premiers. C’est l’un des problèmes de Landau, et il reste ouvert.

Les quarante nombres premiers d’Euler

Le polynôme d’Euler n² + n + 41 est premier pour tout n de 0 à 39. Cela fait quarante nombres premiers. Pour n = 40, il donne 1 681 = 41², et la suite s’arrête. Sur la spirale, ces valeurs forment le seul polynôme 4n² − 2n + 41, c’est-à-dire le polynôme d’Euler aux entiers pairs, avec la direction opposée 4n² + 2n + 41. Elles deviennent une seule diagonale droite quand la case centrale vaut 41 au lieu de 1. La suite ininterrompue comprend les quarante valeurs de 1 523 (dix-neuf pas au sud-ouest du centre) à 1 601 (vingt pas au nord-est), en passant par 41. Les cases suivantes, 1 681 et 1 763, sont composées, donc la ligne dorée se rompt. La constante de Hardy et Littlewood pour 4n² − 2n + 41 vaut environ 6,6 : la conjecture dit que ces valeurs sont premières près de sept fois plus souvent que des nombres aléatoires de même taille.

À quoi sert l’image

La spirale ne tranche pas le théorème des nombres premiers, et une longue diagonale n’est pas une preuve. C’est une carte. Les polynômes riches ou pauvres en nombres premiers se voient d’un coup d’œil, et c’est pourquoi Ulam, et avant lui Laurence Klauber en 1932, ont pris la peine de les dessiner. Klauber utilisait un triangle dont les lignes vont d’un carré au suivant. Robert Sacks plaça plus tard les entiers sur une spirale d’Archimède, de sorte qu’un carré tombe à chaque tour ; le polynôme d’Euler y devient une courbe plutôt que deux rayons diagonaux. Dans la spirale carrée, ce qu’il faut regarder, c’est la formule de la ligne sous votre doigt, le nombre de nombres premiers qu’elle contient, et la comparaison avec 1 / ln n, la probabilité qu’un nombre aléatoire de cette taille soit premier.

Explorez-la dans PictorX

Ouvrez la spirale d’Ulam et vous obtenez l’image classique : un carré de 101×101, les nombres premiers en or, les composés masqués. Faites glisser pour vous déplacer et défilez pour zoomer. Le favori « Grille 5×5 » écrit chaque nombre, pour vérifier le chemin avec le carré ci-dessus. « Les 40 d’Euler » fait commencer la spirale à 41 et trace 4n² − 2n + 41. « Ligne la plus riche » cherche dans les deux directions diagonales celle qui contient le plus de nombres premiers. Cliquez sur une case pour afficher sa diagonale, avec le polynôme, la plus longue suite de nombres premiers et la comparaison avec un nombre aléatoire de même taille. « Reste mod 4 » et « Dernier chiffre » recolorent les nombres premiers. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l’éditeur PictorX. Associez-la à la conjecture de Syracuse ou à la fourmi de Langton pour d’autres règles simples à l’image surprenante.

Questions fréquemment posées

Qui a découvert la spirale d’Ulam ?

Stanisław Ulam, en 1963, en griffonnant pendant une réunion scientifique. Martin Gardner l’a popularisée dans Scientific American en mars 1964. Laurence Klauber avait dessiné en 1932 un tableau triangulaire de nombres premiers apparenté.

Pourquoi les nombres premiers s’alignent-ils ?

Une diagonale, une ligne ou une colonne de la spirale carrée est un polynôme du second degré 4n² + bn + c. Certains de ces polynômes sont divisibles par un petit nombre premier anormalement souvent, d’autres presque jamais. Les nombres premiers sont ce qui reste.

Qu’a de particulier n² + n + 41 ?

Il est premier pour n = 0, 1, 2, …, 39, soit quarante nombres premiers, et composé pour n = 40, car la valeur vaut 41². Sur la spirale, commencez à 41 et cette suite forme une seule diagonale : de 1 523 à 1 601 en passant par 41, les valeurs de 4n² − 2n + 41.

La spirale prouve-t-elle comment les nombres premiers sont répartis ?

Non. Elle montre les variations que la conjecture F de Hardy et Littlewood cherche à prédire. Aucun polynôme du second degré n’a été prouvé engendrer une infinité de nombres premiers.