Fougère de Barnsley
La fougère de Barnsley est une fractale construite à partir de quatre minuscules formules. On part de l’origine et, encore et encore, on choisit au hasard une application affine. Après des dizaines de milliers de points, une doradille noire apparaît. Chaque foliole est une copie réduite de la fronde entière, si bien que l’image reste détaillée à n’importe quel zoom. Regardez la fougère pousser, zoomez sur une foliole ou ajustez les coefficients.
Comment ça marche
- Ouvrez cette page et regardez la fougère se remplir grâce au jeu du chaos.
- Faites glisser pour déplacer et faites défiler pour zoomer. Une foliole est la même fougère, dessinée plus petite.
- Changez de variété, colorez les points selon la transformation qui les a tracés ou ajustez la courbure et la taille des folioles, puis enregistrez un PNG.
Quatre applications, une fronde
Chaque étape applique f(x, y) = une matrice fois (x, y), plus un décalage. La doradille noire utilise quatre de ces applications. L’une dessine la tige et est choisie environ 1 % du temps. Une autre copie la fougère en une foliole plus petite plus haut sur la tige et est choisie environ 85 % du temps. Les deux dernières dessinent les pennes gauche et droite les plus basses et sont choisies environ 7 % du temps chacune. Comme ces pennes sont elles-mêmes des copies de la fougère entière, les ramifications latérales apparaissent d’elles-mêmes.
Le jeu du chaos
Le premier point est l’origine. Chaque nouveau point est l’image du précédent par une application choisie selon les probabilités ci-dessus. Tracez assez de points et le nuage se pose sur la fougère. Les mêmes coefficients donnent toujours la même forme. La fronde classique tient à peu près dans −2,18 < x < 2,66 et 0 ≤ y < 10.
Mutants et autosimilarité
Changez les coefficients et la plante change. Thélyptéridacées et Fougère leptosporangiée sont des cousines publiées de la doradille noire, elles aussi à quatre applications. Courbure incline la tige. Taille des folioles met à l’échelle les deux applications latérales. La coloration par transformation peint la tige, les folioles successives, la penne gauche et la penne droite de couleurs différentes, pour voir quelle formule a tracé chaque point. Zoomez : le détail ne s’épuise jamais.
Questions fréquemment posées
Qu’est-ce que la fougère de Barnsley ?
Une fractale présentée par Michael Barnsley pour ressembler à la doradille noire, Asplenium adiantum-nigrum. C’est un système de fonctions itérées : quatre applications affines, répétées, dessinent la plante entière.
Que font les quatre transformations ?
L’une envoie chaque point sur la tige. Une autre crée la foliole suivante, plus petite, plus haut sur la tige. Une troisième dessine la grande penne gauche, et la dernière la grande penne droite. Les pennes latérales contiennent des copies réduites de la même fougère.
Pourquoi puis-je zoomer à l’infini ?
La fougère est autosimilaire. Chaque foliole est la fronde entière après l’une des applications ; une vue rapprochée montre donc une autre copie de la même construction, et non le flou d’un dessin figé.
Qu’est-ce qu’une variété mutante ?
La même recette à quatre applications avec d’autres coefficients. Thélyptéridacées et Fougère leptosporangiée sont deux mutants publiés. Courbure, Taille des folioles et Aléatoire déplacent encore les coefficients : c’est l’idée des superfractales de Barnsley.
La fougère quitte-t-elle mon appareil ?
Non. Les points sont calculés dans votre navigateur. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l’éditeur PictorX.
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