Парадокс дней рождения
Сколько людей должно собраться в комнате, чтобы у двоих из них, скорее всего, совпали дни рождения? Большинство называет около 180. Ответ — всего 23: тогда вероятность равна 50,7 %, а при 57 людях она уже 99 %. Это кажется неправильным, потому что мы думаем о собственном дне рождения, а парадокс касается всех пар в комнате. В группе всего из 23 человек вероятность того, что у двоих из них совпадут дни рождения, равна 50,7 %. Это кажется слишком большим, потому что мы думаем о собственном дне рождения: вероятность, что кто-то родился в один день с вами, всего 6 %. Но 23 человека образуют 253 пары, и у каждой пары дни рождения могут совпасть. Нажмите, чтобы собрать новую группу, и смотрите, как копятся пары, добавляйте людей по одному или проверьте 1000 групп и все размеры групп, чтобы увидеть, как растёт кривая.
Как это работает
- Нажмите на холст, чтобы собрать новую группу из 23 человек. Люди присоединяются по одному, и для каждой новой пары появляется линия.
- Следите за календарём: день, на который приходятся два дня рождения, подсвечивается, а сообщение называет общий день рождения.
- Нажмите «Проверять автоматически», чтобы проверить 1000 групп, или «Проверить все размеры групп», чтобы увидеть, как растёт вероятность от 2 до 100 человек.
Почему нас подводит интуиция
В комнате мы бессознательно рассуждаем от себя: какова вероятность, что кто-то родился в один день со мной? При 365 днях в году эта вероятность мала — около 6 % при 22 других людях. Но парадокс спрашивает, совпадают ли дни рождения у любых двух людей: A и B, B и C, A и C и так далее. Двадцать три человека образуют 23 × 22 / 2 = 253 пары, и каждая из них — шанс на совпадение. Число пар растёт как квадрат размера группы, поэтому вероятность резко взлетает.
Вычисление
Проще всего найти вероятность того, что ни у кого дни рождения не совпадают, и вычесть её из 100 %. Первый человек занимает любой день. Второй родился в другой день с вероятностью 364/365, третий не попадает на дни первых двух с вероятностью 363/365, и так далее. Для 23 человек: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3 %. Тогда вероятность хотя бы одного общего дня рождения равна 100 % − 49,3 % = 50,7 %.
Кто-то с вашим днём рождения
Вероятность того, что кто-то в группе родился в один день именно с вами, растёт гораздо медленнее: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, потому что вас включают только n − 1 пар. При 23 людях она равна 5,9 %, а чтобы она превысила 50 %, нужно 253 других человека. Переключите вопрос на «Кто-то родился в ваш день», чтобы сравнить обе кривые.
Атака «дней рождения» в криптографии
Парадокс — это больше чем фокус для вечеринки. В компьютерной безопасности на нём основана атака «дней рождения»: чтобы найти два разных входных значения с одинаковым хешем, то есть коллизию, атакующему нужно гораздо меньше попыток, чем можно было бы ожидать. Для хеш-функции с N возможными значениями коллизия становится вероятной примерно после √N попыток, а не N. Поэтому хеш-функциям и цифровым подписям нужны настолько длинные значения, чтобы даже √N попыток были недостижимы: для 128-битного хеша коллизия требует около 2⁶⁴ попыток.
Часто задаваемые вопросы
Сколько людей нужно, чтобы вероятность общего дня рождения достигла 50 %?
23. Тогда вероятность равна 50,7 %. При 30 людях она составляет 70,6 %, при 41 человеке — 90,3 %, при 57 — 99,0 %, а при 70 — 99,9 %.
Почему это называют парадоксом?
Это не противоречие, а лишь неожиданность: ответ идёт вразрез с интуицией. Большинство людей предполагают, что нужна примерно половина от 365, то есть около 180 человек, потому что сравнивают всех с собой, а не друг с другом.
А как же 29 февраля и настоящие даты рождения?
Приложение, как и классическая задача, считает все 365 дней равновероятными. Настоящие дни рождения распределены по году не совсем равномерно, а неравномерное распределение делает совпадение чуть более вероятным, а не менее.
Когда общий день рождения гарантирован?
При 366 людях: дней всего 365, поэтому по принципу Дирихле хотя бы у двоих из 366 человек дни рождения обязательно совпадут. Но практически наверняка это происходит гораздо раньше: при 100 людях вероятность равна 99,99997 %.
Что-нибудь загружается?
Нет. Всё вычисляется и рисуется на холсте в браузере. Кнопка «Сохранить» скачивает PNG. Кнопка «Редактировать» открывает это изображение в редакторе PictorX.
Сопутствующие инструменты
Парадокс дней рождения
Парадокс дней рождения простыми словами: почему у 23 человек вероятность общего дня рождения равна 50,7 %, 253 пары, пошаговое вычисление, кто-то с вашим днём рождения, правило квадратного корня и атака «дней рождения» на хеш-функции.
Парадокс Монти Холла
Парадокс Монти Холла на практике: выберите одну из трёх дверей, посмотрите, как Монти открывает другую, с козой, и решите, остаться или сменить. Играйте сами или дайте компьютеру сыграть 1000 игр и убедитесь, что смена выигрывает в двух случаях из трёх.
Шарики из вазы
Вынимайте шарики из вазы не глядя и не возвращая их обратно. Следите за каждым извлечением на дереве вероятностей: 5/9 × 4/8 = 5/18 для двух красных шариков. А потом пусть компьютер проведёт 1000 раундов.
Ошибка игрока
Подбрасывайте честную монету 100 раз в секунду и смотрите, что выпадает после каждой серии из 5 или 8 орлов подряд. По-прежнему 50/50: у монеты нет памяти.
Броски кубиков
Бросьте один, два или три кубика тысячу раз и сравните столбчатую диаграмму того, как часто выпадал каждый результат, с ожидаемыми частотами. Узнайте, почему 7 — самая частая сумма.
Подсчёт карт по системе Hi-Lo
Научитесь считать карты по системе Hi-Lo за столом для блэкджека прямо в браузере: +1, 0 или −1 за каждую карту, текущий счёт, истинный счёт и ставка. Тренируйте счёт, посчитайте всю колоду или сыграйте миллион раундов.
π методом Монте-Карло
Бросайте тысячи случайных дротиков в квадрат с вписанным кругом и смотрите, как доля попавших внутрь превращается в π. Запускайте, останавливайте и следите, как сходится оценка.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Перейти в редактор