De verjaardagenparadox
Hoeveel mensen moeten er in een kamer zijn voordat er waarschijnlijk twee op dezelfde dag jarig zijn? De meeste mensen gokken rond de 180. Het antwoord is maar 23: dan is de kans 50,7%, en bij 57 mensen is het al 99%. Het voelt verkeerd omdat we aan onze eigen verjaardag denken, terwijl de paradox over elk koppel in de kamer gaat. In een groep van slechts 23 mensen is de kans dat er twee op dezelfde dag jarig zijn 50,7%. Dat klinkt veel te hoog, omdat we aan onze eigen verjaardag denken: de kans dat iemand met jou jarig is, is maar 6%. Maar 23 mensen vormen 253 koppels, en elk koppel kan een gedeelde verjaardag hebben. Klik voor een nieuwe groep en zie de koppels zich opstapelen, voeg mensen één voor één toe, of test 1.000 groepen en elke groepsgrootte en zie de curve stijgen.
Hoe het werkt
- Klik op het speelveld voor een nieuwe groep van 23 mensen. Ze komen één voor één binnen, en voor elk nieuw koppel verschijnt een lijn.
- Kijk naar de kalender: een dag met twee verjaardagen licht op, en de melding noemt de gedeelde verjaardag.
- Druk op Automatisch testen voor 1.000 groepen, of op Elke groepsgrootte testen om de kans te zien stijgen van 2 tot 100 mensen.
Waarom onze intuïtie ons bedriegt
Als we in een kamer staan, denken we onbewust vanuit onszelf: wat is de kans dat iemand met mij een verjaardag deelt? Met 365 dagen in een jaar is die kans klein, ongeveer 6% bij 22 anderen. Maar de paradox vraagt of er twee mensen dezelfde verjaardag hebben: A en B, B en C, A en C, enzovoort. Drieëntwintig mensen vormen 23 × 22 / 2 = 253 koppels, en elk daarvan is een kans op een match. Het aantal koppels groeit kwadratisch met de groep, dus de kans schiet razendsnel omhoog.
De berekening
Het makkelijkst is om de kans te berekenen dat niemand een verjaardag deelt, en die van 100% af te trekken. De eerste persoon claimt een willekeurige dag. De tweede heeft een kans van 364/365 op een andere dag, de derde een kans van 363/365 om af te wijken van de eerste twee, enzovoort. Voor 23 mensen: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3%. De kans op minstens één gedeelde verjaardag is dan 100% − 49,3% = 50,7%.
Iemand die met jou jarig is
De kans dat iemand in de groep op jouw eigen verjaardag jarig is, groeit veel langzamer: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, omdat maar n − 1 van de koppels jou bevatten. Bij 23 mensen is dat 5,9%, en je hebt 253 anderen nodig om boven de 50% te komen. Zet de vraag op Iemand is op jouw verjaardag jarig om beide curves te vergelijken.
Birthday attacks in de cryptografie
De paradox is meer dan een leuk weetje voor op feestjes. In de IT-beveiliging is het de basis van de birthday attack: om twee invoeren met dezelfde hash te vinden, een botsing of collision, heeft een aanvaller veel minder pogingen nodig dan je zou verwachten. Voor een hash met N mogelijke waarden wordt een botsing waarschijnlijk na ongeveer √N pogingen in plaats van N. Daarom hebben hashes en digitale handtekeningen uitvoer nodig die zo lang is dat zelfs √N pogingen onhaalbaar zijn: voor een hash van 128 bits kost een botsing ongeveer 2⁶⁴ pogingen.
Veelgestelde vragen
Hoeveel mensen heb je nodig voor 50% kans op een gedeelde verjaardag?
23. Dan is de kans 50,7%. Bij 30 mensen is het 70,6%, bij 41 mensen 90,3%, bij 57 mensen 99,0% en bij 70 mensen 99,9%.
Waarom heet het een paradox?
Het is geen tegenspraak, alleen een verrassing: het antwoord gaat in tegen onze intuïtie. De meeste mensen schatten dat je ongeveer de helft van 365 nodig hebt, rond de 180 mensen, omdat ze iedereen met zichzelf vergelijken in plaats van met elkaar.
En 29 februari en echte geboortedata?
De app rekent, net als het klassieke probleem, met 365 even waarschijnlijke dagen. Echte verjaardagen zijn niet helemaal gelijk over het jaar verdeeld, en een ongelijke verdeling maakt een gedeelde verjaardag juist iets waarschijnlijker, niet minder.
Wanneer is een gedeelde verjaardag zeker?
Bij 366 mensen: er zijn maar 365 dagen, dus volgens het ladenprincipe moeten minstens twee van 366 mensen een dag delen. Lang daarvoor is het al praktisch zeker: bij 100 mensen is de kans 99,99997%.
Wordt er iets geüpload?
Nee. Alles wordt in je browser berekend en op een canvas getekend. Opslaan downloadt een PNG. Bewerken opent die afbeelding in de PictorX-editor.
Gerelateerde gereedschappen
De verjaardagenparadox
De verjaardagenparadox uitgelegd: waarom 23 mensen 50,7% kans op een gedeelde verjaardag geven, de 253 koppels, de berekening stap voor stap, iemand die met jou jarig is, de wortelregel en birthday attacks op hashes.
Het Monty Hall-probleem
Het Monty Hall-probleem om zelf te proberen: kies een van drie deuren, zie Monty er een met een geit openen, en blijf of wissel. Speel zelf of laat de computer 1.000 spellen spelen en zie dat wisselen twee van de drie keer wint.
Knikkers uit een vaas
Pak zonder te kijken knikkers uit een vaas en leg ze niet terug. Volg elke trekking in een boomdiagram: 5/9 × 4/8 = 5/18 voor twee rode knikkers. Laat daarna de computer 1.000 rondes trekken.
Gokkersdenkfout
Gooi een eerlijke munt 100 keer per seconde op en zie wat er komt na elke reeks van 5 of 8 keer kop op rij. Het blijft 50/50: de munt heeft geen geheugen.
Dobbelstenen gooien
Gooi een, twee of drie dobbelstenen duizend keer en vergelijk het staafdiagram van hoe vaak elke uitkomst viel met de verwachte frequenties. Ontdek waarom 7 de meest voorkomende som is.
Kaarten tellen met Hi-Lo
Leer kaarten tellen met Hi-Lo aan een blackjacktafel in je browser: +1, 0 of −1 voor elke kaart, de Running Count, de True Count en de inzet. Oefen het tellen, tel een deck door, of speel een miljoen rondes.
Monte-Carlo-π
Gooi duizenden willekeurige pijltjes naar een vierkant met een cirkel erin en zie hoe het deel dat erbinnen landt π wordt. Start, stop en volg hoe de schatting convergeert.
Klaar om het te proberen?
Open PictorX in uw browser - geen installatie, geen creditcard vereist om te starten.
Ga naar Editor