誕生日のパラドックス
部屋に何人いれば、誕生日が同じ2人がいる可能性が高くなるでしょうか？ほとんどの人は180人くらいと答えます。答えはわずか23人です。このとき確率は50.7%、57人ならもう99%です。間違っているように感じるのは、私たちが自分の誕生日のことを考えるのに対して、このパラドックスは部屋にいるすべてのペアについての話だからです。 わずか23人のグループで、2人の誕生日が同じになる確率は50.7%です。高すぎるように思えるのは、自分の誕生日のことを考えてしまうからです。あなたと同じ誕生日の人がいる確率は、わずか6%です。でも23人からは253組のペアができ、どのペアも誕生日が同じになる可能性があります。クリックして新しいグループを作り、ペアが増えていく様子を見たり、1人ずつ加えたり、1,000グループやすべての人数をテストして曲線が上がっていく様子を見たりしてみましょう。
使い方
- ステージをクリックすると、23人の新しいグループができます。1人ずつ加わり、新しいペアができるたびに線が1本引かれます。
- カレンダーを見てください。誕生日が2つ重なった日が光り、メッセージに同じ誕生日が表示されます。
- 「自動でテスト」を押すと1,000グループをテストし、「すべての人数でテスト」を押すと、2人から100人まで確率が上がっていく様子が見られます。
直感が外れる理由
部屋の中で、私たちは無意識に自分を基準に考えます。自分と同じ誕生日の人がいる確率はどれくらいだろう？365日もあれば、その確率は小さく、ほかに22人いても約6%です。でもこのパラドックスが問うのは、誰か2人の誕生日が同じかどうかです。AとB、BとC、AとC、という具合です。23人からは 23 × 22 / 2 = 253 組のペアができ、そのどれもが一致のチャンスです。ペアの数は人数の2乗に比例して増えるので、確率は急上昇します。
計算
いちばん簡単なのは、誰も誕生日が同じにならない確率を求めて、100%から引く方法です。1人目はどの日でもかまいません。2人目が違う日になる確率は364/365、3人目が最初の2人を避ける確率は363/365、と続きます。23人なら 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49.3% です。したがって、同じ誕生日が少なくとも1組ある確率は 100% − 49.3% = 50.7% です。
あなたと同じ誕生日の人
グループの中にあなたと同じ誕生日の人がいる確率は、ずっとゆっくりしか増えません。1 − (364/365)ⁿ⁻¹ です。ペアのうちあなたを含むのは n − 1 組だけだからです。23人では5.9%で、50%を超えるにはほかに253人必要です。問いを「あなたと同じ誕生日の人がいる」に切り替えて、2本の曲線を比べてみましょう。
暗号における誕生日攻撃
このパラドックスは、パーティーの余興にとどまりません。コンピューターセキュリティでは、誕生日攻撃の土台になっています。同じハッシュ値をもつ2つの入力、つまり衝突を見つけるのに、攻撃者は予想よりはるかに少ない試行で済むのです。N通りの値をとるハッシュでは、N回ではなくおよそ√N回試すと衝突が起こりやすくなります。だからハッシュやデジタル署名には、√N回の試行でさえ手が届かないほど長い出力が必要です。128ビットのハッシュなら、衝突を見つけるのに約2⁶⁴回の試行がかかります。
よくある質問
同じ誕生日の人がいる確率が50%になるには何人必要ですか？
23人です。このとき確率は50.7%です。30人なら70.6%、41人なら90.3%、57人なら99.0%、70人なら99.9%です。
なぜパラドックスと呼ばれるのですか？
矛盾があるわけではなく、意外なだけです。答えが直感に反するのです。ほとんどの人は365の半分くらい、つまり180人ほど必要だと考えます。全員をお互いどうしではなく、自分と比べてしまうからです。
2月29日や実際の誕生日はどうなりますか？
このアプリは、古典的な問題と同じく、365日がどれも同じ確率だと考えます。実際の誕生日は1年に完全に均等には散らばっておらず、ばらつきがあると同じ誕生日になる確率はわずかに上がります。下がることはありません。
同じ誕生日が確実になるのはいつですか？
366人のときです。日付は365日しかないので、鳩の巣原理により、366人のうち少なくとも2人は誕生日が同じになります。それよりずっと前に、ほぼ確実になります。100人なら確率は99.99997%です。
何かアップロードされますか？
いいえ。すべてはブラウザーの中で計算され、キャンバスに描かれます。保存は PNG をダウンロードします。編集はその画像を PictorX のエディターで開きます。
関連ツール
誕生日のパラドックス
誕生日のパラドックスを解説します。23人で同じ誕生日がある確率が50.7%になる理由、253組のペア、一歩ずつの計算、あなたと同じ誕生日の人、平方根の法則、そしてハッシュへの誕生日攻撃。
モンティ・ホール問題
モンティ・ホール問題を体験しましょう。3つの扉から1つを選び、モンティがヤギのいる扉を開けたら、そのままにするか変えるかを決めます。自分で遊ぶことも、コンピューターに1,000ゲームを任せて、変えると3回に2回勝つのを確かめることもできます。
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モンテカルロ π
円の入った正方形にランダムなダーツを何千本も投げ、内側に入った割合が π に変わっていく様子を見てみましょう。スタートとストップを使いながら、推定値が収束していくのを追えます。
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