La paradoja del cumpleaños
¿Cuántas personas hacen falta en una sala para que dos de ellas probablemente cumplan años el mismo día? La mayoría calcula unas 180. La respuesta es solo 23: entonces la probabilidad es del 50,7 %, y con 57 personas ya es del 99 %. Parece incorrecto porque pensamos en nuestro propio cumpleaños, mientras que la paradoja trata de todas las parejas de la sala. En un grupo de solo 23 personas, la probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día es del 50,7 %. Parece demasiado alta, porque pensamos en nuestro propio cumpleaños: la probabilidad de que alguien comparta el tuyo es solo del 6 %. Pero 23 personas forman 253 parejas, y cada pareja podría compartir cumpleaños. Haz clic para un nuevo grupo y mira cómo se acumulan las parejas, añade personas una a una, o prueba 1000 grupos y todos los tamaños de grupo para ver subir la curva.
como funciona
- Haz clic en el lienzo para un nuevo grupo de 23 personas. Llegan una a una, y aparece una línea por cada nueva pareja.
- Mira el calendario: un día con dos cumpleaños se ilumina, y el mensaje indica el cumpleaños compartido.
- Pulsa Probar automáticamente para 1000 grupos, o Probar todos los tamaños para ver cómo sube la probabilidad de 2 a 100 personas.
Por qué falla nuestra intuición
En una sala razonamos inconscientemente desde nosotros mismos: ¿qué probabilidad hay de que alguien comparta mi cumpleaños? Con 365 días esa probabilidad es pequeña, alrededor del 6 % con otras 22 personas. Pero la paradoja pregunta si dos personas cualesquiera comparten cumpleaños: A y B, B y C, A y C, y así sucesivamente. Veintitrés personas forman 23 × 22 / 2 = 253 parejas, y cada una de ellas es una oportunidad de coincidencia. El número de parejas crece con el cuadrado del grupo, así que la probabilidad se dispara.
El cálculo
Lo más fácil es calcular la probabilidad de que nadie comparta cumpleaños y restarla del 100 %. La primera persona ocupa cualquier día. La segunda tiene una probabilidad de 364/365 de caer en otro día, la tercera una probabilidad de 363/365 de evitar los dos primeros, y así sucesivamente. Para 23 personas: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3 %. La probabilidad de al menos un cumpleaños compartido es entonces 100 % − 49,3 % = 50,7 %.
Alguien con tu mismo cumpleaños
La probabilidad de que alguien del grupo comparta tu propio cumpleaños crece mucho más despacio: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, porque solo n − 1 de las parejas te incluyen. Con 23 personas es del 5,9 %, y necesitas a otras 253 personas para superar el 50 %. Cambia la pregunta a «Alguien comparte tu cumpleaños» para comparar las dos curvas.
Ataques de cumpleaños en criptografía
La paradoja es mucho más que una curiosidad para fiestas. En seguridad informática es la base del ataque de cumpleaños: para encontrar dos entradas con el mismo hash, una colisión, un atacante necesita muchos menos intentos de lo que cabría esperar. Para un hash con N valores posibles, una colisión se vuelve probable tras aproximadamente √N intentos, no N. Por eso los hashes y las firmas digitales necesitan salidas lo bastante largas para que incluso √N intentos queden fuera de alcance: para un hash de 128 bits, una colisión requiere unos 2⁶⁴ intentos.
Preguntas frecuentes
¿Cuántas personas hacen falta para tener un 50 % de probabilidad de un cumpleaños compartido?
23. Entonces la probabilidad es del 50,7 %. Con 30 personas es del 70,6 %, con 41 personas del 90,3 %, con 57 personas del 99,0 % y con 70 personas del 99,9 %.
¿Por qué se llama paradoja?
No es una contradicción, solo una sorpresa: la respuesta va contra la intuición. La mayoría de la gente cree que hace falta la mitad de 365, unas 180 personas, porque compara a todos consigo misma en lugar de compararlos entre sí.
¿Y el 29 de febrero y las fechas de nacimiento reales?
La aplicación, como el problema clásico, supone 365 días igual de probables. Los cumpleaños reales no se reparten del todo por igual a lo largo del año, y un reparto desigual hace que un cumpleaños compartido sea algo más probable, no menos.
¿Cuándo es seguro un cumpleaños compartido?
Con 366 personas: solo hay 365 días, así que por el principio del palomar al menos dos de 366 personas tienen que compartir uno. Mucho antes ya es prácticamente seguro: con 100 personas la probabilidad es del 99,99997 %.
¿Esto sube algo?
No. Todo se calcula y se dibuja en un lienzo en tu navegador. Guardar descarga un PNG. Editar abre esa imagen en el editor de PictorX.
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