Игла Бюффона бесплатно | Оценка π бросанием игл

Как это работает

Откройте эту страницу и нажмите «Воспроизвести». Иглы падают на линии случайным образом.
Смотрите, как устанавливается π. Когда игла вдвое короче расстояния, это число бросков, делённое на число пересечений.
Откройте синусоидальную диаграмму, положите иглу вручную или бросьте тысячу сразу, а затем сохраните PNG.

Пересечение решают два числа

Бросок задают расстояние x от середины иглы до ближайшей линии и угол θ между иглой и линиями. x меняется от 0 до d/2. θ меняется от 0 до π: у иглы нет головки, и пол-оборота охватывает все направления. Игла пересекает линию, когда x ≤ (l/2) sin θ.

Формула для короткой иглы

При l ≤ d вероятность пересечения равна P = 2l/(πd). Пары (θ, x) заполняют прямоугольник шириной π и высотой d/2. Пересечениям соответствует площадь под синусоидой, и эта площадь равна l. При делении двух площадей π остаётся в знаменателе. При l = d/2 вероятность равна 1/π, так что π примерно равно числу бросков, делённому на число пересечений.

Медленный путь к π

После преобразования формула принимает вид π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Это оценка методом Монте-Карло, причём неэффективная. Нескольких тысяч бросков обычно хватает, чтобы узнать первые цифры. Следующая цифра требует гораздо большего числа бросков. ± рядом с показанием — одна стандартная ошибка отношения. Проведите по полу, чтобы положить одну иглу и увидеть её x и θ. Эта игла рисуется, но не учитывается в подсчёте.

Часто задаваемые вопросы

Что такое игла Бюффона?

Игла длины l, которую бросают на параллельные линии с шагом d. Для короткой иглы, l ≤ d, вероятность пересечь линию равна 2l/(πd).

Почему в ответе есть π?

Направление иглы — это угол от 0 до π. Все возможные падения заполняют прямоугольник такой ширины, а пересечениям соответствует площадь под синусоидой. При делении этих площадей π остаётся в знаменателе.

Как опыт оценивает π?

Подсчитайте броски N и пересечения N_hit. Тогда π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Когда игла вдвое короче расстояния, это число бросков, делённое на число пересечений.

Почему игла, положенная вручную, не учитывается?

Для оценки нужны случайное положение и случайный угол. Иглу, которую вы ставите перетаскиванием, рисуют, чтобы показать x и θ, но не добавляют ни к N, ни к N_hit.