Гонка по брахистохроне
Какая трасса быстрее всех доставит шар из A в B? Не прямая. Каждый шар стартует из состояния покоя и скользит без трения, и циклоида — кривая, которую описывает точка катящегося колеса, — побеждает каждый раз. Её название — брахистохрона: кратчайшее время. Потяните B, чтобы передвинуть финиш, или нарисуйте свою трассу на картинке. Каждый шар стартует из A из состояния покоя и скользит без трения. Циклоида — самый быстрый путь вниз, даже там, где она опускается ниже финиша.
Как это работает
- Откройте страницу, и гонка начнётся. Пять шаров одновременно стартуют из A. Метки времени показывают, где был каждый шар через каждую десятую долю секунды.
- Потяните B, чтобы передвинуть финиш, или нарисуйте свою трассу на картинке. Попробуйте обогнать циклоиду.
- Выберите Режим «Циклоидная чаша»: шары, отпущенные с разной высоты, достигают дна одновременно. Затем сохраните PNG.
Сначала круто, потом быстро
Шар, который в начале круто падает, рано набирает скорость и сохраняет её на всём остальном пути. Шар на прямом скате идёт кратчайшим путём, но разгоняется медленно. Лучшая трасса уравновешивает одно и другое: круто в начале, положе потом. Это равновесие и есть циклоида.
Кривая катящегося колеса
Покатите колесо по прямой и следите за одной точкой на его ободе: она описывает циклоиду. Если перевернуть её и провести от A к B, получится брахистохрона. Когда B далеко в стороне и не очень низко, циклоида даже опускается ниже B и снова поднимается к нему — и всё равно побеждает.
Одно время с любой высоты
В чаше в форме циклоиды шар, отпущенный с любой высоты, достигает дна за одно и то же время: π√(a/g), где a — радиус катящегося колеса. Это таутохрона. В круглой чаше шары, отпущенные выше, приходят позже.
Часто задаваемые вопросы
Почему прямая — не самый быстрый путь?
Это кратчайший путь, но не самый быстрый. На пологом склоне шар разгоняется медленно. Трасса, которая сначала круто падает, рано разгоняет шар, и эта скорость окупается на более длинном пути.
Кто решил задачу о брахистохроне?
Иоганн Бернулли поставил эту задачу в 1696 году. Решения нашли сам Иоганн, его брат Якоб, Лейбниц, Ньютон и другие. Решение Ньютона было опубликовано без имени автора, и говорят, что Бернулли узнал его по этому решению, как льва по когтям.
Меняют ли масса и гравитация победителя?
Нет. Масса шара здесь ни при чём, а более сильная гравитация ускоряет каждый шар в одно и то же число раз. Порядок в гонке остаётся прежним — и на Луне тоже.
Может ли победить моя трасса?
Только если она очень близко подойдёт к циклоиде. Трасса, которая поднимается выше A, никогда не доведёт шар до B: без трения шар не может подняться выше точки, с которой стартовал.
Что-нибудь загружается?
Нет. Гонка рисуется на холсте в браузере. Кнопка «Сохранить» скачивает PNG. Кнопка «Редактировать» открывает это изображение в редакторе PictorX.
Сопутствующие инструменты
Брахистохрона
Что такое брахистохрона: почему циклоида обгоняет прямую, как решили задачу-вызов Бернулли 1696 года и почему циклоидная чаша — это ещё и таутохрона.
Закон Снеллиуса и преломление света
Посмотрите, почему свет преломляется. Устройте гонку спасателя по песку и морю, направьте лазер из воздуха в воду, стекло или алмаз и проследите, как свет в тонких слоях описывает брахистохрону.
Маятниковая волна
Пятнадцать маятников, каждый чуть короче предыдущего. Отпустите их вместе и смотрите, как они расходятся волнами, делятся на ряды и снова качаются в такт.
Колыбель Ньютона
Поднимите стальной шар и отпустите. Щелчок отправляет это движение на другую сторону. Смотрите, как высота превращается в движение.
Доска Гальтона
Бросайте шары сквозь ряды штырьков и смотрите, как ячейки заполняются по колоколообразной кривой. Меняйте число рядов, смещение и число шаров и сравнивайте среднее и разброс с теорией.
Спирограф
Рисуйте гипотрохоиды и эпитрохоиды в браузере. Настройте R, r и смещение пера, анимируйте, рандомизируйте и сохраните PNG.
Игла Бюффона
Бросайте иглы на разлинованный пол прямо в браузере. Считайте пересечения и смотрите, как опыт Бюффона 1777 года оценивает π.
Двойной маятник
Смоделируйте классический двойной маятник в браузере. Рисуйте хаотичные следы наконечника, пути длинной выдержки или искажайте мягкое поле — затем сохраните PNG.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Перейти в редактор