Course de la brachistochrone gratuite | La descente la plus rapide

Comment ça marche

Ouvrez cette page et la course démarre. Cinq billes quittent A ensemble. Les repères de temps montrent où était chaque bille à chaque dixième de seconde.
Faites glisser B pour déplacer l’arrivée, ou dessinez votre propre piste sur l’image. Essayez de battre la cycloïde.
Réglez Mode sur Cuvette cycloïdale : des billes lâchées de hauteurs différentes atteignent le fond ensemble. Puis enregistrez un PNG.

D’abord raide, puis rapide

Une bille qui part sur une pente raide prend de la vitesse tôt et la garde pour le reste du trajet. Une bille sur la rampe droite prend le chemin le plus court, mais elle gagne de la vitesse lentement. La meilleure piste équilibre les deux : raide au départ, plus plate ensuite. Cet équilibre, c’est la cycloïde.

La courbe d’une roue qui roule

Faites rouler une roue le long d’une ligne et suivez un point de sa jante : il trace une cycloïde. Retournée, de A à B, c’est la brachistochrone. Quand B est loin sur le côté et pas très bas, la cycloïde plonge même sous B puis remonte, et elle gagne quand même.

Le même temps de n’importe quelle hauteur

Dans une cuvette en forme de cycloïde, une bille lâchée de n’importe quelle hauteur atteint le fond dans le même temps : π√(a/g), où a est le rayon de la roue qui roule. C’est la tautochrone. Dans une cuvette ronde, les billes lâchées plus haut arrivent plus tard.

Questions fréquemment posées

Pourquoi la ligne droite n’est-elle pas la plus rapide ?

C’est le chemin le plus court, mais pas le plus rapide. Sur une pente douce, la bille prend de la vitesse lentement. Une piste qui descend d’abord en pente raide lance vite la bille dès le début, et cette vitesse est payante sur le chemin plus long.

Qui a résolu le problème de la brachistochrone ?

Johann Bernoulli l’a posé en 1696. Des solutions sont venues de Johann lui-même, de son frère Jakob, de Leibniz, de Newton et d’autres. Celle de Newton a été publiée sans son nom, et Bernoulli y aurait reconnu son auteur, comme on reconnaît le lion à sa griffe.

La masse et la gravité changent-elles le vainqueur ?

Non. La masse de la bille n’intervient pas, et une gravité plus forte rend chaque bille plus rapide du même facteur. L’ordre de la course reste le même, sur la Lune aussi.

Ma propre piste peut-elle gagner ?

Seulement en s’approchant de très près de la cycloïde. Une piste qui monte plus haut que A n’amène jamais la bille à B, car sans frottement une bille ne peut jamais monter plus haut que son point de départ.

Est-ce que quelque chose est envoyé ?

Non. La course est dessinée sur un canevas dans votre navigateur. Enregistrer télécharge un PNG. Modifier ouvre cette image dans l’éditeur PictorX.

Outils associés

Brachistochrone

Ce qu’est la brachistochrone : pourquoi la cycloïde bat la ligne droite, comment le défi lancé par Bernoulli en 1696 a été résolu, et pourquoi une cuvette cycloïdale est aussi la tautochrone.

$Exemple Loi de Snell-Descartes et réfraction de la lumière dans PictorX$

Loi de Snell-Descartes et réfraction de la lumière

Découvrez pourquoi la lumière est déviée. Lancez un maître-nageur dans une course à travers le sable et la mer, envoyez un laser de l’air dans l’eau, le verre ou le diamant, et regardez la lumière qui traverse de fines couches tracer la brachistochrone.