Kim Buffon miễn phí | Ước lượng π bằng cách thả kim

Cách nó hoạt động

Mở trang này và nhấn phát. Kim rơi ngẫu nhiên xuống các đường kẻ.
Xem π dần ổn định. Khi kim dài bằng nửa khoảng cách, π bằng số lần thả chia cho số lần cắt.
Mở biểu đồ sin, đặt một cây kim bằng tay hoặc thả cả nghìn cây một lúc, rồi lưu thành PNG.

Hai con số quyết định một lần cắt

Mỗi lần thả được xác định bởi khoảng cách x từ tâm kim đến đường gần nhất và góc θ giữa kim với các đường. x chạy từ 0 đến d/2. θ chạy từ 0 đến π, vì kim không có đầu và nửa vòng quay đã bao gồm mọi hướng. Kim cắt đường khi x ≤ (l/2) sin θ.

Công thức kim ngắn

Với l ≤ d, xác suất cắt là P = 2l/(πd). Các cặp (θ, x) lấp đầy một hình chữ nhật rộng π và cao d/2. Các lần cắt là diện tích dưới đường sin, và diện tích đó bằng l. Chia hai diện tích cho nhau thì π nằm lại ở mẫu số. Khi l = d/2 xác suất là 1/π, nên π xấp xỉ số lần thả chia cho số lần cắt.

Một cách chậm để tìm π

Công thức sau khi biến đổi là π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Đây là một ước lượng Monte Carlo, và không hiệu quả. Vài nghìn lần thả thường đủ để nhận ra những chữ số đầu tiên. Chữ số tiếp theo cần số lần lớn hơn nhiều. Dấu ± cạnh kết quả là một sai số chuẩn của tỉ số. Kéo trên sàn để đặt một cây kim và xem x và θ của nó. Cây kim đó được vẽ nhưng không được tính.

Hỏi thường xuyên

Kim Buffon là gì?

Một cây kim dài l thả lên các đường song song cách nhau d. Với kim ngắn, l ≤ d, xác suất kim cắt một đường là 2l/(πd).

Vì sao đáp số có π?

Hướng của kim là một góc từ 0 đến π. Mọi cách rơi có thể lấp đầy một hình chữ nhật rộng như vậy, còn các lần cắt là diện tích dưới một đường sin. Chia hai diện tích đó thì π nằm lại ở mẫu số.

Thí nghiệm ước lượng π như thế nào?

Đếm số lần thả N và số lần cắt N_hit. Khi đó π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Khi kim dài bằng nửa khoảng cách, đó là số lần thả chia cho số lần cắt.

Vì sao kim đặt bằng tay không được tính?

Ước lượng cần vị trí ngẫu nhiên và góc ngẫu nhiên. Cây kim bạn kéo vào chỗ được vẽ để bạn thấy x và θ, nhưng không được cộng vào N hay N_hit.